最有效的座位安排答案

【问题标题】：Most efficient seating arrangement最有效的座位安排
【发布时间】：2016-03-15 10:29:28
【问题描述】：

有n (n < 1000) 个朋友组，组的大小由数组A[] (2 <= A[i] < 1000) 表征。表格的存在使得它们一次可以容纳r(r>2) 人。每个人就座所需的最少桌子数量是多少，受制于每个人都应该有他/她的小组中的另一个人坐在他/她的桌子旁。

我想的方法是将每个组分成三三两两的大小并尝试解决这个问题，但是有很多方法可以将数字n分成三三两的组，并不是所有的都可以是最优的。

【问题讨论】：

嗯。我对此思考得越多，我想到的边缘案例就越有趣。即，r=3（总是可解的边缘情况）和 r=2（仅有时可解）。话虽如此，我认为这仍然不是非常困难。
@MooingDuck 进行编辑，r 总是大于 2。
@SHB 这个问题等同于“在最小的桌子排列中必须有多少个空座位？”那一个可能更容易考虑，因为有很多方法可以安排人们在桌子上，但很少有人强迫自己有很多空位的桌子。
@btilly：如果r 很大，那就是真的。对于像r==3 这样的边缘情况，它们非常不同。
@MooingDuck，对于 r==3，每张桌子要么有 0 个空椅子，要么有 1 个空椅子。但我不确定将小组分成三三两两的大小是否是最好的主意。

【解决方案1】：

混合整数编程模型算数吗？

关于这个公式的一些注释：

我使用随机数据来分组。
x(i,j) 是第 i 组坐在 j 桌旁的人数。
x(i,j) 是一个半整数变量，即：它是一个整数变量，其值为零或介于 LO 和 UP 之间。并非所有 MIP 求解器都提供半连续和半整数变量，但它可能会派上用场。在这里，我使用它来强制要求至少有来自同一组的 2 人需要坐在一张桌子旁。如果求解器不提供这些类型的变量，我们也可以使用其他二元变量来制定此构造。
y(j) 是一个二进制变量（0 或 1），指示是否使用表。
容量方程有点聪明：如果不使用表 (y(j)=0)，它的容量会减少到零。
选项 optcr=0 表示我们希望求解到最优。对于大而困难的问题，我们可能希望将其限制在 5%。
顺序方程确保我们从表 1 开始填充表格。这也降低了问题的对称性并可能加快求解时间。
上述模型（包含 200 个组和 200 个可能使用的表）生成一个包含 600 个方程（行）和 40k 个变量（列）的 MIP 问题。有 37k 个整数变量。借助出色的 MIP 求解器，我们可以在不到一分钟的时间内找到经过验证的最优解（使用 150 个表）。
请注意，这肯定不是背包问题（正如另一个答案中所建议的那样——背包问题只有一个约束），但它类似于装箱问题。

【讨论】：

我对整数编程不太熟悉，因此无法准确评论这是否可行。根据我的说法，该问题的预期解决方案不会使用整数编程。
上面的公式很接近，但不能解决您的确切问题，@SHB。不过，我很确定您将不得不求助于整数编程，因为您专门要求受一些约束的“最小表数”。很难确定一个可以为您提供好的答案的确定性算法，更不用说最佳答案了。
@KoenPeters 我在公式中遗漏了什么？
糟糕，当我第一次查看您的公式时，我没有意识到您使用的是 semi-整数变量。
@KoenPeters 我在此添加了一些句子。有点深奥的变量类型。

【解决方案2】：

这与NP完全的背包问题相同（参见https://en.wikipedia.org/wiki/Bin_packing_problem）。所以找到最优解是相当困难的。

大部分时间都有效的启发式方法：

【讨论】：

在一些欧洲 ICPC 地区提出了这个问题，所以我很确定在给定的限制条件下应该有一个确定性的解决方案。
我没有立即看出这是一个背包问题。
@ErwinKalvelagen 见装箱问题en.wikipedia.org/wiki/Bin_packing_problem
如果我们只有一张桌子，那将是一个背包问题。但在这里，我们希望尽量减少容纳所有人所需的桌子数量。
@ErwinKalvelagen 让我给你一个简单的问题实例。假设您有 n 个小组，共有 200 万人，每张桌子的容量为 m。询问您是否可以将它们放在两个表中（这是 NP 完整的），与询问最小表数是多少相同。如果我们可以在多项式时间内解决原始问题，我们可以在多项式时间内解决后一个问题，这意味着我们可以在多项式时间内解决NP完全问题，这是不可能的。

【解决方案3】：

你的方法是可行的。如果给定数量的表存在解决方案，则存在将每个组分成若干个二和若干个三的解决方案。首先，将每组奇数大小的三个分开。你留下了一堆大小相同的组。接下来，从每个大小不能被六整除的组中拆分出两个。忘记这是一个更大的群体；将它分成一组六人一组。

此时，您已将所有组分成若干个二、若干个三和若干个六。给每张奇数大小的桌子一个三，必要时分成六；现在所有的桌子都有大小。剩下的所有六人现在可以分成二人并任意坐下。

【讨论】：