使所有数组元素为零的最小 AND 操作数答案

【问题标题】：Minimum number of AND operations to make all array elements zero使所有数组元素为零的最小 AND 操作数
【发布时间】：2019-07-18 21:22:05
【问题描述】：

我在一次编程比赛中遇到了这个问题：

给定一个由 n 个元素组成的数组。在每次迭代中，您可以选择任意两个元素 a_i 和 a_j 并替换 ai 与 a_i & a_j。 & 是按位与运算符。找出使所有数组元素为零所需的最小 AND 操作数。

假设给定输入有一个解决方案。这个问题的最优解是什么？

编辑：我已经为运行时间超过 1 秒的问题添加了我的 DP 解决方案。有什么加快速度的建议吗？

0

D：以 2 为底的最大位数（0

目标：2^D - 1

T[i][X] => {n_0, n_1, ..., n_i} 中使 X 为零的最小元素数

T[i][0] = 0

T[0][X>0] = INF

T[i][X] = min( 1 + T[i-1][X & n_i] , T[i-1][X] )

T[n][GOAL] -> AND 操作的最小次数

【问题讨论】：

"假设有一个解，这个问题的最优解是什么？"解决方案不会仅仅因为您认为它存在而实现:) 无论如何，您尝试了什么？
你有什么想法？有什么线索吗？你用“动态编程”标记了这个问题，所以听起来你有一个想法。
问题的那一部分要在问题的上下文中理解。比如数组{1,1}没有解，因为1 & 1 = 1，所以不能用上述操作清空数组。
似乎缺少信息。在不知道数组中的值的情况下，您无法判断两个元素是否会产生零。
这个编程竞赛还在进行吗？请发送一个链接。

标签： algorithm data-structures dynamic-programming greedy

【解决方案1】：

在我看来，这就像set cover problem。我们需要找到在每个位置都覆盖零的最小子集。一旦找到该子集，生成的“绝对”零可用于将其他元素转换为零。在下面的示例中，子集中的三个元素中的任何一个都可以用作第一个零。

【讨论】：

不错的解决方案。那么最优性证明呢？
@AsafRosemarin 您是指在寻找答案时设置覆盖的最优性，还是覆盖所有零的最小子集的最优性，表示所需的最小移动次数？我希望后者或多或少是不言而喻的。
@AsafRosemarin 似乎不言自明。如果我们没有在子集中覆盖所有零位置，我们如何从该子集中使任何“绝对”零？
@Mbt925 设置封面是一个已知的研究问题。我会寻找解决二元情况的文献。但也许格雷戈里对这个问题有正确的解释？您确定允许我们检查数组元素吗？
@Mbt925 在现实世界中，使用整数程序求解器。在比赛中，也许分支和绑定就足够了。诚然，实现对偶单纯形法需要一段时间。

【解决方案2】：

如果问题对给定的输入有解决方案，您可以执行以下操作：

在 [0,n-1] 之间选择一个索引 i（假设数组索引是从零开始的）。
对于介于 0 和 n 之间且不是 i 的每个 j，执行 a_ii & a_j。此时可以保证 a_i 等于 0，否则问题无法解决，因为您对数组中的所有项执行了位和。
对于介于 0 和 n 之间且不是 i 的每个 j，执行 a_ji & a_j。这会对数组中的所有项执行 0，使它们也为 0。

第一个循环执行 n-1 次 and 操作，第二个循环执行 n-1 次，所以总共 2n-2 次 and 操作。

编辑：

这是假设您无法查看数组中的值。

【讨论】：

"找出使所有数组元素为零所需的最小 AND 操作数。"向我建议返回值必须是整数。您的解决方案不是最小的（并且不计算有多少 ANDs 甚至有效果）。如果您只需要将数组归零，则有更简单的按位组合元素的方法。
您的解决方案提供了所需的最大 AND 操作数。
（我在您的答案中添加了一个空格，以便能够对其进行投票。我之前曾投反对票，但取决于我们如何解释问题，这可能是一个正确的答案。）

【解决方案3】：

我的猜测是，您可以通过使 DP 表稀疏来获得所需的加速。我们可以将生成的算法视为在节点为0..2^D-1 且边从x 到x&y 的图上进行从2^D-1 到0 的广度优先搜索，其中y 是数组元素。事实上，由于按位与的交换性/结合性，我们可以通过要求x&y 清除x 中的最低位集来收紧边集。在下面的 Python 代码中，通过使用映射 zero_index 可以有效地实现这一点，但在 C 中我会使用数组（并根据需要将集合替换为位图或数组）。

import collections
import random


def min_and(seq):
    lst = list(seq)
    zero_index = collections.defaultdict(lambda: set(lst))
    for x in lst:
        y = x
        while y:
            zero_index[y & ~(y - 1)].discard(x)
            y &= y - 1
    visited = set()
    fringe = set(lst)
    i = 0
    while 0 not in fringe:
        visited.update(fringe)
        fringe = {
            x & y
            for x in fringe for y in zero_index[x & ~(x - 1)]
            if x & y not in visited
        }
        i += 1
    return i + len(lst) - 1


print(min_and(
    random.randrange(2**18) | random.randrange(2**18) | random.randrange(2**18)
    for i in range(100)))

【讨论】：

感谢您的解决方案。有用。你能解释更多关于y & ~(y - 1)零件和收紧边缘的信息吗？为什么要清除最低位？
@Mbt925 y & ~(y - 1) 是提取最低设置位的习语。我们知道在按位 AND 中必须有一个该位清晰的数字，因此通过强制它成为图中的第一步，我们减少了必须考虑的中间状态的数量。
我错误地将赏金给了另一个用户。对不起。
@Mbt925 嗯，我有足够的代表。
@Mbt925 在 C++ 中工作，我会将 zero_index 设为向量的向量，并使用内部函数来查找第一个零的索引（或在 ~x 中查找第一个）以查找-UPS。我会将visited 设为位图，将fringe 设为矢量，但会急切地更新visited 以防止fringe 中的重复。