使所有数组元素为零的最低成本

Question

使所有数组元素为零的最小成本因此操作如下：

数组 A 的子数组是数组 A 中的一个 od 连续元素。给定一个包含 N 个元素的数组 A，您可以根据需要多次应用以下操作：

操作 1：选择任何子数组 [L,R] 并递减该子数组中的每个元素以获得成本 C1 操作 2：选择索引 I 使得 A[i] 为正并设置 A[i] = 0。此操作的成本为 C2

我们的任务是找到使所有元素为零的最低成本。

1 <= C1 <= 10 
1 <= C2 <= 10^4
1 <= A[i] <= 10^8

Answer 1

我将在这里描述一个分而治之的算法。

想法

请注意，当我们有一个数组时，在任何操作 2 之前执行所有操作 1 总是最佳的。为什么？当您执行操作 2 时，例如在数组 [1, 1, 3, 4] 上，假设您将第三个元素设置为 0，它将使数组 [1, 1, 0, 4]。以前在数组[1, 1, 3, 4] 中，我们可以在间隔[0, 3] 上执行操作1，但现在我们需要两个操作来完成相同的操作（即[0, 1] 和[3, 3]）。因此，在任何操作 2 之前执行所有操作 1 始终是最佳的。

此外，我们注意到，当我们执行操作 1 时，我们总是这样做，以便某些元素会到达 0，否则执行操作 1 将毫无意义。这产生了一个分而治之的算法，我将举例说明：

实施

假设数组是[8, 4, 3, 6, 7, 9, 12, 5]。我们调用一个递归函数solve(0, 7)，它将返回使所有元素为0的成本。

在solve(0, 7)，我们有两个选择：

1. 在[0, 7] 上应用操作1 3 次，它会将数组减少到[5, 1, 0, 3, 4, 6, 9, 2]，成本为3 * C1。然后递归求解solve(0, 1) 和solve(3, 7)。答案是3 * C1 + solve(0, 1) + solve(3, 7)。
2. 对所有元素应用操作 2。这将产生(7 - 0 + 1) * C2 = 8 * C2 的成本。

我们采取任何一种方式来降低成本。