贝尔曼福特算法可以有任意的边顺序吗？

Question

我刚刚开始学习新算法，但是当我在极客的极客上阅读 bellman ford 算法时我被卡住了：- http://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-23-bellman-ford-algorithm/

上面写着-

算法以自下而上的方式计算最短路径。它首先 计算最短路径的最短距离 至多在路径中的一个边缘。然后，它计算最短路径 最多 2 条边，以此类推。

外循环第i次迭代后，计算出最多有i条边的最短路径。可以有最大值 |V| – 任何简单路径中的 1 条边，这就是外循环运行 |v| 的原因– 1 次。这个想法是，假设没有负权重循环，如果我们计算了最多有 i 个边的最短路径，那么对所有边的迭代保证给出最多有 (i+1) 条边的最短路径。

让我们通过以下示例图了解算法。图片来源于此。

让给定的源顶点为 0。将所有距离初始化为无限，除了到源本身的距离。图中的顶点总数为 5，因此所有边必须处理 4 次。

在下面的例子中，如果边的顺序是 - (AB),(BE),(ED),(DC),(AC),(BC),(DB),(BD) 那么只有一次迭代它将计算最短路径，甚至 2-3 条边与“它首先计算 最多有一条边的最短路径的最短距离 在路径中。然后，它计算最多有 2 条边的最短路径， 等等。外循环第i次迭代后，最短路径 最多计算 i 边缘“所以在改变顺序 边缘这个陈述将被证明是错误的。

让我们通过以下示例图了解算法。图片来源于此。

让给定的源顶点为 0。将所有距离初始化为无限，除了到源本身的距离。图中的顶点总数为 5，因此所有边必须处理 4 次。

让所有边按以下顺序处理：(B,E), (D,B), (B,D), (A,B), (A,C), (D,C), (B ,C), (E,D)。第一次处理所有边缘时，我们得到以下距离。第一行显示初始距离。第二行显示处理边缘 (B,E)、(D,B)、(B,D) 和 (A,B) 时的距离。第三行显示处理 (A,C) 时的距离。第四行显示何时处理 (D,C)、(B,C) 和 (E,D)。

第一次迭代保证给出最多 1 条边长的所有最短路径。第二次处理所有边时，我们得到以下距离（最后一行显示最终值）。

第二次迭代保证给出最多 2 条边长的所有最短路径。该算法再处理所有边 2 次。第二次迭代后距离最小化，因此第三次和第四次迭代不会更新距离。

Answer 1

您在评论中引用的表格行

第四行显示处理 (D,C)、(B,C) 和 (E,D) 的时间。

不正确。这意味着存在一条从A 到C 的路径，长度为2，最多包含一条边——但是这样的路径不存在。

Answer 2

是的，无论边缘的处理顺序如何，bellman ford 都能正常工作。事实上，这就是你必须进行n-1 迭代的原因。如果您知道，边的最佳顺序是什么 - 只需一次迭代就足够了。

考虑下图（所有边的权重1）：

 (1) --> (2) --> (3) --> (4) 

如果您按1->2、2->3、3->4 的顺序处理边缘。您将在一次迭代中找到从1 到4 的最短路径。对于按3->4、2->3、1->2 排序的边，您将必须执行所有3 迭代。

但是，n-1 迭代是最坏的情况，无论以何种顺序处理边缘（如果没有负循环）。

Answer 3

没错。放松的顺序无关紧要。

例如，

有 3 个节点，因此可以进行两次松弛迭代。如果松弛从节点 b 开始向后发生，然后到节点 a，第一次迭代将产生 b:infinity,a:2。然后第二次迭代是 b:5,a:2。在第一次迭代中 b 不能被更新，因为只使用了一条边，所以只有离它有一条边的 a 节点可以被更新。第二次迭代是从源到任何地方都使用了两条边，因此最终可以更新 b。在第一次迭代中，b 根本无法更新，因为 a 还没有准备好。

那我们看一下前向更新怎么样？在第一次迭代中，它将是 a:2 和 b:5。第二次迭代是 a:2 和 b:5。展望未来，让所有连续节点都准备好​​更新距离，因此更多迭代不会改变值。但是有人可能想知道，如果我为 101 个节点进行 100 次迭代，并且我正在进行前向更新，那会怎样。是否有可能在第一次迭代中更新了所有内容，并且直到第 99 次迭代都没有变化，突然间有一个节点在第 100 次迭代时距离减小了？不，不可能，因为前向更新不会在第一次迭代后引起变化，除非有负循环。

您可以在此处阅读有关贝尔曼福特的更多信息：https://medium.com/@logicdevildotcom/dynamic-programming-applied-to-graphs-f33b6b8a8247

Answer 4

sample graph

在这个有向加权图中，假设我们将按以下顺序放松边： (u,v)、(s,u) 和 (s,v)。这里的来源是“s”。因此，在 Bellman Ford 算法的初始化步骤中，我们有 d(s)=0，d(u)=d(v)=∞。因为这里我们总共有 3 个顶点，所以算法应该有 3-1=2 次迭代，以产生顶点到源的最短距离。在迭代的每一步中，我们需要对每条边 (u,v) 执行松弛步骤，以检查 d(u) + w(u,v)

第一次迭代后： d(u)=3, d(v)=7 第二次迭代后： d(u)=3, d(v)=5

因此，如您所见，第一次迭代不能保证给出所有最长为 1 条边长的最短路径。因为在这个例子中，我们只有在第 2 次迭代之后才能得到 1 个边长节点“v”的最短距离。但是，如果我们在图表中强制执行三角不等式，那么该陈述将是正确的。

现在回到您最初的问题，是的，Bellman Ford 算法可以以任意顺序放松边缘，正如上面@ead 很好地回答的那样。但在最后的迭代步骤结束时，该算法将为您提供每个节点与源节点的最短距离。