我正在尝试解决一个问题，即给定一个 nXn 方阵字符，我想从中找出最大回文方阵的大小？最大的回文方格是所有行和所有列的回文方格。
例如。 输入
a g h j k
s d g d j
s e f e n
a d g d h
r y d g s
输出将是：
3
对应中间的正方形。我正在考虑动态编程解决方案，但无法制定递归关系。我认为尺寸应该是 a(i,j,k) 其中 i,j 是矩形的右下角，k 是回文正方形的大小。 有人可以帮我解决这个问题的递归关系吗？
编辑：
n
【问题讨论】：
标签： algorithm language-agnostic dynamic-programming
假设你可以解决以下问题：
(i, j) 结尾处是否存在横向和纵向长度不同的回文。以上问题提示：
boolean[][][]palindrome;//Is there any palindrome ending at (i , j) has length k
for(int i = 0; i < n; i++){
for(int j = 0; j < n; j++){
palindrome[i][j][0] = true;
palindrome[i][j][1] = true;
for(int k = 2; k <= n; k++)
if(data[i][j - k + 1] == data[i][j] && palindrome[i][j - 1][k - 2])
palindrome[i][j][k] = true;
}
}
所以，我们可以创建两个三维数组int[n][n][n]col 和int[n][n][n]row。
对于每个单元格(i, j)，我们将计算长度为 k 的回文总数，结束于单元格 (0, j), (1, j) , ... (i, j) 和总数长度为 k 的回文数，结束于单元格 (i,0), (i, 1), ... (i, j)
for(int k = 1; k <= n; k++)
if(there is palindrome length k horizontally, end at cell (i, j))
row[i][j][k] = 1 + row[i - 1][j][k];
if(there is palindrome length k vertically, end at cell (i, j))
col[i][j][k] = 1 + col[i][j - 1][k];
最后，if row[i][j][k] >= k && col[i][j][k] >= k -> 有一个平方回文长度 k 以 (i,j) 结尾。
总的来说，时间复杂度将是 O(n^3)
【讨论】：
让我们从验证回文的复杂性开始：
可以在 O(k) 中识别回文，其中 k 是回文 see here 的长度
然后，您需要为您的内部正方形中的每一行和每一列执行 2k 次测试。 （以回文k的长度为维度）
所以现在你有k * 2k -> O(2k^2) -> O(k^2)
然后你想增加整个数据集的可能搜索空间nxn这是引入第二个变量的时候
您需要在嵌套循环中迭代列 1 to (n-k) 和所有行 1 to (n-k)。
所以现在你有(n-k)^2 * O(k^2) -> O(n^2 * k^2)
注意：这个问题取决于多个变量
这与我建议您编写解决方案的方法相同，从小处着手，逐渐扩大
【讨论】：
我确定可能有更好的方法，而且我很确定我的逻辑是正确的，所以请从表面上看，因为它没有经过测试。
为了让示例简单，我会说 i,j 是左上角或坐标 1,1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 a b c d e f g f
2 d e f g h j k q
3 a b g d z f g f
4 a a a a a a a a
即(1,1) = a, (1,5) = e and (2,1) = d
现在您可以从检查每 k 列开始，而不是检查每一列
即当k=3
1) 创建一个2D布尔数组字符表的大小所有结果为TRUE
2) 我首先检查第 3 列 cfg 这不是回文，因此我不再需要测试第 1 列或第 2 列。
3) 因为回文测试失败将二维数组 (1,3) 中的对应结果标记为 FALSE（我知道不测试任何使用此位置的范围，因为它不是回文）
4) 接下来检查第 6 列，fjf，这是一个回文，所以我返回并测试第 5 列，ehz!= 一个回文
5) 设置 (1,5) = FALSE
6) 然后测试第 8 列然后第 7 列，
注意：您只需测试 8 列中的 5 列。
由于一行中有 k 列是回文，现在测试相应的行。在本例 3 中从底行开始，因为如果失败，它将消除大多数其他检查
7) 检查从 (3,6) fgf = 回文开始的行
8) 检查从 (2,6) jkq != 回文开始的行
9) 设置 (2,6) = FALSE
10) 检查从 (2,3) daa != palindrome 开始的列
11) 设置 (2,3) = FALSE
不需要再测试第 2 行，因为 (2,3) 和 (2,6) 都是 FALSE
希望你能理解这一点。
注意：您可能会从 k = n 开始并递减 k 直到找到结果
【讨论】：