递归可以是动态规划吗？答案

【问题标题】：Can recursion be dynamic programming?递归可以是动态规划吗？
【发布时间】：2013-10-09 14:34:35
【问题描述】：

我被要求使用动态编程来解决问题。我对动态编程的构成有不同的看法。我相信它需要一种“自下而上”的方法，首先解决最小的问题。

我有一个矛盾的信息，如果相同的子问题被多次解决，是否可以是动态编程，递归中经常出现这种情况。

例如。对于斐波那契，我可以有一个递归算法：

RecursiveFibonacci(n)
if (n=1 or n=2)
    return 1
else
    return RecursiveFibonacci(n-1) + RecursiveFibonacci(n-2)

在这种情况下，可能会一遍又一遍地解决相同的子问题。这是否呈现它不是动态编程？也就是说，如果我想要动态编程，我是否必须避免解决子问题，例如使用长度为 n 的数组并将解决方案存储到每个子问题（数组的第一个索引是 1、1 , 2, 3, 5, 8, 13, 21)?

Fibonacci(n)
F1 = 1
F2 = 1
for i=3 to n
    Fi=Fi-1 + Fi-2
return Fn

【问题讨论】：

【解决方案1】：

动态程序通常可以用递归公式简洁地描述。

但是，如果您使用简单的递归计算机程序来实现它们，这些通常会因为您提出的原因而效率低下：重复相同的计算。斐波那契是重复计算的一个例子，虽然它不是一个动态程序。

有两种方法可以避免重复。

任何 DP 算法都隐含其中一种方法。如果重复计算，则该算法不是 DP。所以你的问题的答案是“是的”。

举个例子……假设你有价值为 v_1、v_2、... v_n 的硬币，让我们尝试用最少数量的硬币找零 c 美分的问题。

令 N(c) 为赚取 c 美分所需的最小硬币数。那么一个递归公式是

N(c) = 1 + min_{i = 1..n} N(c - v_i)

对于 k

要记住这一点，只需要一个将 c 映射到 N(c) 的哈希表。

在这种情况下，“表”只有一维，很容易填写。假设我们有值 1、3、5 的硬币，那么 N 表以

开头

你明白了。你总是可以用这种方式从 N(d), d

在这种情况下，您只需记住最后 5 个值，因为那是最大的硬币值。大多数 DP 都是相似的。只需要表格的几行即可获得下一个。

对于递归表达式中的 k 个自变量，该表是 k 维的。

【讨论】：

感谢吉恩。因此，为了澄清定义（这就是我真正追求的：o）），即使使用递归算法，它效率低下，因为可能会过度解决相同的问题 -再说一遍，它是否仍然算作动态规划，仅仅是因为较大的问题首先被分解为较小的问题？
@user2808302 不。不像我见过的那样使用这个词。动态程序或 DP 算法的基本假设是子问题只解决一次以获得更大的问题解决方案。当使用递归公式描述时，隐含记忆或自下而上的表格构造。

【解决方案2】：

如果有问题，我们会考虑一种动态编程方法

用非常简单的话我们可以说动态编程有两个方面，它们是自顶向下和自底向上的方法。

在您的情况下，如果您在谈论递归，这是一种自上而下的方法。在自顶向下的方法中，我们将尝试编写递归解决方案或蛮力解决方案并记住结果，以便在类似的子问题到来时尝试使用该结果，所以它是蛮力+记忆。我们可以通过简单的递归关系来实现这种蛮力方法。

【讨论】：