我的优化问题（我的目标是保持线性）的决策变量是一个放置二进制向量，其中每个位置的值是 0 或 1（项目 i 的两个不同可能位置）。
目标函数的一个组成部分是：
C_T 是转移 N 个项目的常数。
k 是我当前解决问题的迭代，k-1 是项目的当前位移（解决问题 k-1 的最后一次迭代的结果）。我有一个初始条件 (k=0)。
N是“当前位移（k-1）和优化问题的结果（未来最优位移x^k）之间有多少x的位置不同”。
如何保持目标函数的这个分量是线性的？换句话说，如何替换 XOR 运算符？ 我考虑过使用绝对差异作为替代方案，但我不确定它是否会有所帮助。
有没有线性的方法来做到这一点？
我将在 python 中用 PuLP 实现这个问题，也许那里也有一些可以帮助的东西......
【问题讨论】：
标签： mathematical-optimization linear-programming nonlinear-optimization pulp absolute-value
我的符号是：xprev[i] 是以前的解决方案，x[i] 是当前解决方案。我假设xprev[i] 是一个二进制常量，x[i] 是一个二进制变量。然后我们可以写
sum(i, |xprev[i]-x[i]|)
=sum(i|xprev[i]=0, x[i]) + sum(i|xprev[i]=1, 1-x[i])
=sum(i, x[i]*(1-xprev[i]) + (1-x[i])*xprev[i])
第二行和第三行都可以直接在 Pulp 中实现。请注意 |第二行是“这样”。
下面有一条评论声称这是错误的。所以让我们把我的表达写成B*(1-A)+(1-B)*A。可构造如下真值表：
A B A xor B B*(1-A)+(1-B)*A
0 0 0 0 + 0
0 1 1 1 + 0
1 0 1 0 + 1
1 1 0 0 + 0
请注意，A xor B = A*not(B) + not(A)*B 是众所周知的身份。
注意。这里我假设xprev[i]（或A）是一个常数，所以事情是线性的。如果两者都是（布尔）变量（我们称它们为 x 和 y），那么我们需要做一些不同的事情。我们可以使用四个不等式对构造 z = x xor y 进行线性化：
z <= x + y
z >= x - y
z >= y - x
z <= 2 - x - y
这现在是线性的，可以在 MIP 求解器中使用。
【讨论】：
(A AND (NOT B)) OR ((NOT A) AND B)，但这并不能从数学上转换为您所写的内容。例如，如果OR = +，那么它不适用于A = 1 和B = 1。相反，它被定义为A OR B = A + B - A*B。
A=B=1 评估为 B*(1-A)+(1-B)*A = 0 + 0。显然A XOR B = 0 也适用于A=B=1。像这样的表达式在数学编程中并不少见，我经常使用它们。如果这不起作用，我的许多模型都会出错。
更新： 如果您需要替换的是 XOR 门，那么您可以使用其他线性门的组合来替换它。以下是其中一些https://en.wikipedia.org/wiki/XOR_gate#Alternatives。
例如：A XOR B = (A OR B) AND (NOT A + NOT B)。当 A 和 B 是二进制时，这应该在数学上转换为：
(A + B - A * B) * ((-A) + (-B) - (-A * -B))
为什么不用乘法？
AND table
0 0 = 0
0 1 = 0
1 0 = 0
1 1 = 1
Multiplication table
0*0 = 0
0*1 = 0
1*0 = 0
1*1 = 1
我认为可以。如果没有，那么我想需要更多细节。
【讨论】：