【问题标题】：Finding length of shortest cycle in undirected graph在无向图中找到最短循环的长度
【发布时间】：2014-01-17 19:21:09
【问题描述】：

我尝试了以下方法：

1) DFS，跟踪我的 DFS 树中每个顶点的级别

2) 每次看到一个后边(x,y)，我计算循环长度=level[x] - level[y] + 1，如果小于最短则保存

有人可以举一个反例说明这种方法是错误的吗？

在无向图中找到最短循环的更好方法是什么？

谢谢。

【问题讨论】：

这个过程应该可以正常工作。顺便说一句，如果图的节点太少，你也可以用 Floyd-Warshall 算法找到最小的循环（实现传递闭包矩阵）但是 Floyd Warshall 算法需要 O(V^3) 计算时间，而 DFS 只需要 O( V+E)
@Fallen 我认为这也可以，直到我在 Dasgupta 发现一个问题，询问为什么相同的方法是错误的并要求提供反例；所以这绝对不应该是正确的。这是我找到的问题的链接（请看最后的练习 4.4）：cs.berkeley.edu/~vazirani/algorithms/chap4.pdf
我错过了 DFS 树，抱歉。恕我直言，BFS 树应该可以正常工作。在 DFS 方式中，可以在较短的路径之前访问较长的路径。

【解决方案1】：

为什么 DFS 不起作用

您不能使用 DFS 来找到最短的圆。我们可以轻松地创建一个反例，其中 DFS 线索仅找到最长的圆。让我们看看下面的图表：

如您所见，我们有九个节点。如果我们从最左边的节点 A 开始，可能会出现以下 DFS 级别：

我们在迭代时有两个后边：

但是，最短的圆的长度为 5。它在下一张图片中显示为蓝色，而之前找到的一个圆显示为红色：

您没有看到蓝色圆圈，因为您的 DFS 路径不包含它。 Dagupa 等人也在他们的书中提到了这种行为：

但这也意味着 DFS 最终可能会采用一条漫长而复杂的路线到达实际上非常接近的顶点。

为什么 BFS 不起作用

嗯，这并不完全正确，可以使用 BFS（参见下一小节），但不能使用公式。拿下图：

这张图还没有花哨的图片。每个“o”都是一个节点。 o---o | | +-------o---o--------+ | | o----o----o----o----o

让我们看看 BFS 中可能有哪些级别。如果我从中间的节点开始，我会得到以下级别：

5~~~5 ~~~ 是后边 | | +-------4~~~4--------+ | | 3----2----1----2----3

如果我从左侧节点开始，我会得到以下级别：

3~~~4 | | +-------2---3--------+ | | 1----2----3----4~~~~4

因此，您不能使用等级公式。

虽然效率不高，但使用全对最短路径算法并检查每个节点的距离 (i,i) 是一种有效的解决方案。

【讨论】：

+1，很好的例子。我只是在“修复 BFS”部分中更改 back edge 术语，它们不应该存在于 BFS 遍历中。
@Leeor：在 BFS 中调用的冲突/不一致边是什么？他们有什么特别的名字吗？
我认为它们将是交叉边缘，后边缘连接到祖先，这在 BFS 中是不可能的。我也觉得你的复杂性太悲观了。
@tor 让我们举个例子。为了简单起见，假设深度（p（c））>深度（a）。如果我们引入 a--c 和 b--p(c)，如果从根开始，我们将有以下检查顺序：p(ab);a,b;c,p(c);其中a，b分别。 c,p(c) 将在同一迭代中检查。一旦你从 p(c) 开始，你就会遇到到 c 的后边（交叉边？已经有一段时间了）。您从 p(c) 和 c 开始到该路径上的共同祖先，即 p(ab)。因此，你找到了 p(ab)-a-c-p(c)-b-p(ab)。
@tor 自我编写该算法以来已经快四年了，所以我不得不查看我实际在做什么，但是是的，你是对的。我删除了那个算法。顺便说一下，还有一个更简单的反例。取一个由具有奇数个节点的线组成的图。设端点分别称为A和B。引入X和Z，连接A-X-B和A-Z-B。最短的循环是 A-X-B-Z-A，但算法本可以返回 A-…-B-X/Z-A。与上面的反例基本相同。不过，全对最短路径仍然有效。

【解决方案2】：

您从每个节点创建一个 BFS，因此您的复杂度为 O(V*E)

【讨论】：

【解决方案3】：

假设我们有以下边的图，

14, 42, 43, 23, 31

然后循环 1、4、2、3、1 可以在 1、4、3、1 之前遍历，并且由于我们正在考虑 DFS，因此不会访问任何节点两次。因此，如果首先遍历 1、4、2、3、1，则根本不可能遍历 1、4、3、1 或 4、2、3、3。因此，使用 DFS，可以不确保我们将始终获得最短的周期。

可能的改进： BFS 树应该可以逐级运行，并且对于 BFS 树来说，从根到任何节点的距离是固定的，无论节点被选中的顺序是什么。运行时间：O(V+E)，而修改后的 Floyd-Warshall 算法在最坏情况下运行时间为 O(V^3)。

【讨论】：