如何以及何时在后缀树中创建后缀链接？

Question

谁能给我一个关于如何以及何时在后缀树中创建后缀链接的示例？

如果我的字符串是ABABABC，但如果这样更好，请使用不同的示例。

希望能提供一些图片来说明每一步。

非常感谢。

Answer 1

要理解这一点，首先回想一下有三种节点 在后缀树中：

• 根
• 内部节点
• 叶节点

在下图中，ABABABC 的后缀树中，黄色 圆圈是根，灰色、蓝色和绿色是内部的 节点，黑色的小节点是叶子。

有两点需要注意：

• 内部节点总是有超过 1 个出边。那是， 内部节点标记树中发生分支的部分。

• 在涉及重复字符串的地方发生分支，并且仅 那里。对于任何内部节点 X，从 root 到 X 必须在输入字符串中至少出现 次 因为有来自 X 的外向边。

示例： 指向蓝色节点的字符串是ABAB。确实， 此字符串在输入字符串中出现两次：在位置 0 和 位置 2。这就是蓝色节点存在的原因。

关于后缀链接：

1. 如果通向某个内部节点 X 的字符串 s 更长 超过 1 个字符，相同的字符串减去第一个字符 （称之为 s_-1）也必须在树中（它是 毕竟，后缀树，所以它的任何字符串的后缀必须是 也在树上）。

   示例： 设 s=ABAB，通向蓝色节点的字符串。然后 删除第一个字符后，s_-1 为BAB。和 事实上，该字符串也在树中找到。它通向绿色 节点。

2. 如果某个字符串 s 导致一个内部节点，它的缩短 版本 s_-1必须通向一个内部节点（调用 它也是 X_-1)。为什么？因为 s 必须至少出现两次 输入字符串，因此 s_-1 必须至少出现多次 （因为它是 s 的一部分：无论 s 出现在哪里， s_-1 也必须出现）。但如果 s_-1 在输入字符串中出现多次，那么一定有 它的内部节点。

3. 在任何此类情况下，将 X 连接到 X_-1 的特殊链接是 后缀链接。

注意：由于上述 (1) 和 (2)，每个内部节点 X 从根到 X 的标签超过 1 个字符必须有一个 后缀链接到另一个内部节点。

示例：

这是和以前一样的后缀树；虚线表示 后缀链接。如果从蓝色节点开始，按照后缀 从那里链接（从蓝色到绿色，到第一个灰色，到第二个灰色）， 并查看从根到每个节点的字符串，您将 看到这个：

 ABAB   ->    BAB    ->    AB    ->    B
(blue)      (green)     (gray1)     (gray2)

这就是为什么它们被称为后缀链接（整个序列是 称为后缀链）。

它们有什么用？

它们对许多事情都有好处。然而，他们扮演一个 Ukkonen's algorithm for suffix tree construction 中的特殊角色，特别是 在 Rule 3 中描述：插入最后一个字符后 在某个点 X 的某些后缀 s 中，算法需要插入 后缀 s_-1 在 O(1) 时间内的最后一个字符。在 为了做到这一点，它使用后缀链接直接跳转到该位置 X_-1 并进行插入。

但是，请注意，没有必要将后缀链接放在后缀树中。它们不是后缀树定义的一部分——它们只是一些构造或使用后缀树的算法使用的特殊链接。

---

关于单字符节点：如果内部节点 X 的字符串（即从根到 X 的路径上的字符串）仅包含一个字符怎么办？根据上面的定义，X 没有后缀链接。但是，您可以假设如果它有一个后缀链接，它将指向根节点。此外：根据上述定义，如果内部节点没有后缀链接，则它必须是单字符节点，因此您始终可以假设，如果内部节点不存在后缀链接，则它必须是单字符节点。字符节点，因此表示 s_-1 后缀的节点就是根节点。 （在这种情况下，某些算法实际上可能会添加指向根节点的显式后缀链接。）感谢 j_random_hacker 对此的评论。