如何从他们的 Voronoi 图中提取一组点的凸包答案

【问题标题】：How to extract the convex hull of a set of points from their Voronoi diagram如何从他们的 Voronoi 图中提取一组点的凸包
【发布时间】：2011-05-14 04:54:39
【问题描述】：

我需要一种算法来计算来自 O(n) 中点的 Voronoi 图的一组点的凸包。 Voronoi 图包含在边界框中，并存储为双向连接的边列表。输入是原点在边界框上的半边。

我知道两个点在凸包上是相邻的，只要它们共享一条无限长的 voronoi 边。

【问题讨论】：

为什么你不能绕着凸包从一个无限边缘走到下一个？我想你可能想多说一点关于问题是如何表示的，以便我们了解其中的困难。
我想问题中更难的部分是测试 voronoi 图上的特定边是否确实会继续无穷大，如果它没有在边界框中有界。此外，由于 voronoi 图和边界框被存储为双向连接的边列表，另一个具有挑战性的部分是弄清楚如何正确遍历 DCEL。不管怎样，我想出了一个可行的解决方案。也许我很快就会把它写在这里。

标签： geometry computational-geometry convex-hull voronoi

【解决方案1】：

我相信可以在 O(n) 时间内计算出 Voronoi 图的凸包。

如果给定的 Voronoi 图和顶点应驻留在 CH 中，您可以像在 Grahm 扫描算法中所做的那样，迭代 Voronoi 图的单元并扩展凸包，但方式不同。

这里只缺少一个理论，接下来看...

根据 Springer 在 M4 书中的 Computational Geometry，定理 7.4：点 q 是 Vor(P) 的顶点当且仅当其最大的空圆 C_p(q) 在其边界上包含三个或更多站点。这意味着每次迭代都需要检查的站点是在 O(1) 中完成的，这意味着您只需遍历 O(n) 个站点。

根据定理 7.3，一个平面上的 n 个点站点的 Voronoi 图的顶点数最多为 2n-5（线性顺序）。

因此可以在 O(n) 时间内计算 Voronoi 图的 CH。

【讨论】：

【解决方案2】：

如果您有一个足够大的边界框，以至于只有无限单元格具有边界边缘，那么这项任务似乎并不难。遍历边界边，对于它们中的每一个，向前和向后遍历它以找到第一个非边界边F 和B。将遍历过程中找到的当前和所有边界标记为used。如果盒子不存在，边缘F 和B 将是无限的。因此，它们接触面（fF 和 fB），这些面的“中心”是凸包的一部分（当前面是 C），而交叉边 C-to-F 是凸包的一部分。面对fF 并从F 的双胞胎向前迭代以找到下一个非边界边缘，例如F1。如果它等于'B'-twin（或者它的边界是used），我们就完成了。如果不是，则遍历下一个邻居（'fF1'）。

【讨论】：

如果没有足够大的边界框怎么办？
@uvts_cvs：这意味着并不是所有的点都包含在边界框中。丢弃这些点，因为它们不能包含在凸包中。其余点具有与原始集相同的凸包。