在 Mathematica 中将点从 4d 空间投影到 3d 空间

Question

假设我们有一组点，每个点的所有坐标都是非负的，并且坐标之和等于 1。这将点限制在 3 维单纯形中，因此有意义尝试将其映射回 3 维空间以进行可视化。

我正在寻找的地图将采用极值点 (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0) 和 (0,0,0 ,1) 到“定位良好”的正四面体的顶点。特别是，四面体的中心位于原点，一个顶点位于 z 轴上，一个面平行于 x,y 平面，一个边平行于 x 轴。

这里的代码对 3 维中的点执行类似的操作，但如何将其扩展到 4 似乎并不明显。基本上我正在寻找函数的 4 维等效项 tosimplex（它将 4 维变为 3）它是单纯形的逆

A = Sqrt[2/3] {Cos[#], Sin[#], Sqrt[1/2]} & /@ Table[Pi/2 + 2 Pi/3 + 2 k Pi/3, {k, 0, 2}] // 转置； B = 逆[A]； tosimplex[{x_, y_, z_}] := 大多数[A.{x, y, z}]; fromsimplex[{u_, v_}] := B.{u, v, Sqrt[1/3]}; (* 检查 *) 极端 = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}； 图形[Polygon[tosimplex /@extreme]] fromsimplex[tosimplex[#]] == # & /@extreme

答案：

deinst 的答案在矩阵方面的直接重新表述给出了以下内容。 （1/sqrt[4] 是第四个坐标，因为它是到单纯形中心的距离）

A = 转置[{{-(1/2), -(1/(2 Sqrt[3])), -(1/(2 Sqrt[6])), 1/Sqrt[4]}, {1/2, -(1/(2 Sqrt[3])), -(1/(2 Sqrt[6])), 1/Sqrt[4]}, {0, -(1/(2 Sqrt[3])) + Sqrt[3]/2, -(1/(2 Sqrt[6])), 1/Sqrt[4]}, {0, 0, Sqrt[2/3] - 1/(2 Sqrt[6]), 1/Sqrt[4]}}]; B = 逆[A]； tosimplex[{x_, y_, z_, w_}] := 大多数[A.{x, y, z, w}]; fromsimplex[{t_, u_, v_}] := B.{t, u, v, 1/Sqrt[4]}; (* 检查 *) 极端 = Table[Array[Boole[# == i] &, 4], {i, 1, 4}]; Graphics3D[Sphere[tosimplex[#], .1] & /@extreme] fromsimplex[tosimplex[#]] == # & /@extreme

Answer 1

一种可能性：

1. 从四面体的中心向每个顶点生成四个（非正交）3 向量 \vec{v}_i。
2. 对于每四个位置x = (x_1 .. x_4)形成向量和\Sum_i x_i*\vec{v}_i。

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当然，这种映射通常不是唯一的，但您的条件是 x_i 的总和为 1 会限制事物。

Answer 2

你想要的

   (1,0,0,0) -> (0,0,0)
   (0,1,0,0) -> (1,0,0)
   (0,0,1,0) -> (1/2,sqrt(3)/2,0)
   (0,0,0,1) -> (1/2,sqrt(3)/6,sqrt(6)/3))

而且它是一个线性变换，所以你变换

   (x,y,z,w) - > (y + 1/2 * (z + w), sqrt(3) * (z / 2 + w / 6), sqrt(6) * w / 3)

编辑您希望中心位于原点 - 只需减去四个点的平均值。对不起

(1/2, sqrt(3)/6, sqrt(6) / 12)