两个旋转矩形的交点面积

Question

我有两个 2D 矩形，分别定义为 origin (x,y)、size（高度、宽度）和 旋转角度 (0-360°)。我可以保证两个矩形的大小相同。

我需要计算这两个矩形相交的近似面积。

计算不需要精确，尽管可以。我会将结果与其他交叉区域进行比较，以确定一组矩形中最大的交叉区域，因此它只需要相对于同一算法的其他计算准确。

我考虑过使用相交区域的边界框的面积，但由于所有不同的可能情况，我无法获取相交区域的顶点：

我正在 Cocoa 框架中用 Objective-C 编写这个程序，因为它的价值，所以如果有人知道使用 NSBezierPath 或其他东西的任何快捷方式，也欢迎你提出建议。

Answer 1

作为对其他答案的补充，您的问题是 line clipping 的一个实例，这是一个在计算机图形学中得到深入研究的主题，并且有许多可用的算法。 如果您旋转坐标系以使一个矩形具有水平边缘，那么问题正是从那里开始剪线。

您可以从Wikipedia article on the topic 开始，然后从那里进行调查。

Answer 2

在任何情况下，计算两个凸多边形的精确交集多边形是一件容易的事，因为任何凸多边形都可以看作是半平面的交集。 “连续切割”就可以了。

选择一个矩形（任意）作为剪切矩形。一个接一个地遍历切割矩形的边。通过包含切割矩形当前边的线切割第二个矩形，并丢弃位于“外部”半平面中的所有内容。

一旦你完成了对所有切割边的迭代，剩下的就是另一个矩形的结果。

Answer 3

一种蛮力的方式：

• 从 [corners of 矩形] + [边的交点]
• 删除不在两个矩形内部或边缘上的点。
• 现在您有了交叉路口。请注意，交点是凸的。
• 按集合中任意点、任意其他点和给定点之间的角度对剩余点进行排序。
• 现在您已经按顺序排列了交点。
• 按常规方式计算面积（乘积）

.

Answer 4

取每个矩形的每个线段，看看它们是否相交。会有几种可能：

1. 如果没有相交 - 共享区域为零 - 除非一个的所有点都在另一个内。在这种情况下，共享区域是较小的区域。

2. a 如果一个矩形的两条连续边与另一个矩形的一条边相交，则形成一个三角形。计算它的面积。

   b.如果边不是连续的，则形成四边形。从四边形的两个对角计算一条线，这会产生两个三角形。计算每个的面积并求和。

3. 如果一条的两条边与另一条的两条边相交，则您将得到一个四边形。计算如 2b。

4. 如果一个的每条边与另一条的每条边相交，您将得到一个八边形。将其分解为三角形（例如，从一个顶点到另一个顶点绘制一条射线以形成 4 个三角形）

@edit：我有一个更通用的解决方案。

检查 1 中的特殊情况。

然后从任何相交的顶点开始，然后从那里沿着边缘到达任何其他相交点，直到回到第一个相交的顶点。这形成了一个凸多边形。从第一个顶点到每个相对的顶点绘制一条射线（例如，跳过左右的顶点。）这会将它分成一堆三角形。计算每个的面积并求和。

Answer 5

您实际上可以计算出确切的面积。

1. 从两个矩形中创建一个多边形。请参阅this question（尤其是this answer），或使用gpc 库。
2. 求这个多边形的面积。见here。

3. 共享区域是

   area of rectangle 1 + area of rectangle 2 - area of aggregated polygon
   

Answer 6

一个可以给出近似答案的简单算法是采样。

将您的一个矩形分成小正方形网格。对于每个交点，检查该点是否在另一个矩形内。位于另一个矩形内的点数将是重叠区域面积的一个相当好的近似值。增加点的密度会提高计算的准确性，但会以性能为代价。