如何计算任意凸多边形中固定纵横比的最大对齐矩形的宽度/高度？
此图像显示了不同凸多边形（黑色）中的此类矩形（红色）的示例：
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我发现了关于主题的不同论文，但它们不适合我的限制。这很奇怪，因为他们应该大大简化算法，但不幸的是我没有找到任何线索。
【问题讨论】：
标签： algorithm geometry computational-geometry convex-optimization
固定比率确实简化了问题，因为现在有一个线性程序。
你想找到 x1, y1, x2, y2 以最大化 x2 - x1 受限于 (x2 - x1) h = w (y2 - y1) 其中纵横比为 w:h，并且对于每个线性定义凸多边形的不等式，每个点 (x1, y1), (x1, y2), (x2, y1), (x2, y2) 都满足。
四点矩形的线性规划(x_1, y_1), (x_1, y_2), (x_2, y_2) , (x_2, y_1), 纵横比 r = w / h 和上面的多边形内接如下：
理论上，低维线性规划有专门的算法，可以在线性时间内运行。在实践中，您可以使用求解器。如果你想自己编写代码，那么你可以使用单纯形法，但梯度下降更简单。
首先让我们摆脱等式约束和一个变量，通过在 x1 = (x - wz), y1 = (y - hz) 的多边形点约束条件下最大化变量 x, y, z 上的 z， x2 = (x + wz), y2 = (y + hz)。其次，让我们用这些约束换取一个客观的术语。通常，多边形内的点约束看起来像（到半平面的有符号距离）≤ 0。相反，我们将对目标应用惩罚项。设 α > 0 为参数。新项是 -exp(α (到半平面的有符号距离))。如果有符号距离是负数（点在半平面内），那么随着 α 趋于无穷大，惩罚将变为零。如果有符号距离为正，则惩罚为负无穷大。如果我们使α足够大，那么变换后问题的最优解将是近似可行的。
这就是它在 Python 中的样子。我不是持续优化专家，所以请谨慎购买。
# Aspect ratio.
w = 3
h = 2
# Represented as intersection of half-spaces a*x + b*y - c <= 0 given below as
# (a, b, c). For robustness, these should be scaled so that a**2 + b**2 == 1,
# but it's not strictly necessary.
polygon = [(1, 1, 20), (1, -2, 30), (-2, 1, 40)]
# Initial solution -- take the centroid of three hull points. Cheat by just
# using (0, 0) here.
x, y, z = (0, 0, 0)
from math import exp
# Play with these.
alpha = 10
rate = 0.02
for epoch in range(5):
for iteration in range(10 ** epoch, 10 ** (epoch + 1)):
# Compute the gradient of the objective function. Absent penalties, we
# only care about how big the rectangle is, not where.
dx, dy, dz = (0, 0, 1)
# Loop through the polygon boundaries, applying penalties.
for a, b, c in polygon:
for u in [-w, w]:
for v in [-h, h]:
term = -exp(alpha * (a * (x + u * z) + b * (y + v * z) - c))
dx += alpha * a * term
dy += alpha * b * term
dz += alpha * (a * u + b * v) * term
x += rate * dx
y += rate * dy
z += rate * dz
print(x, y, z)
【讨论】：
提示：
WLOG 矩形可以是正方形（必要时拉伸空间）。
然后解决方案由距离图的最高点到多边形给出，在 Chebyshev 度量 (L∞) 中。它可以通过中轴变换来确定，而中轴变换本身是从 Voronoi 图获得的。
【讨论】：