如何找到可以容纳在凹多边形内的最大圆？
蛮力算法是可以的，只要它可以实时处理具有约 50 个顶点的多边形。
【问题讨论】：
标签： algorithm polygon computational-geometry geometry
我使用 Straight Skeletons 通过三个步骤将图像放置在多边形内：
试试看：https://smartdiagram.com/simple-infographics-3d-charts-2/
【讨论】：
我实现了一段基于 cv2 的 python 代码来获得掩码/多边形/轮廓内的最大/最大内切圆。它支持非凸/空心形状。
import cv2
import numpy as np
def get_test_mask():
# Create an image
r = 100
mask = np.zeros((4 * r, 4 * r), dtype=np.uint8)
# Create a sequence of points to make a contour
vert = [None] * 6
vert[0] = (3 * r // 2, int(1.34 * r))
vert[1] = (1 * r, 2 * r)
vert[2] = (3 * r // 2, int(2.866 * r))
vert[3] = (5 * r // 2, int(2.866 * r))
vert[4] = (3 * r, 2 * r)
vert[5] = (5 * r // 2, int(1.34 * r))
# Draw it in mask
for i in range(6):
cv2.line(mask, vert[i], vert[(i + 1) % 6], (255), 63)
return mask
mask = get_test_mask()
"""
Get the maximum/largest inscribed circle inside mask/polygon/contours.
Support non-convex/hollow shape
"""
dist_map = cv2.distanceTransform(mask, cv2.DIST_L2, cv2.DIST_MASK_PRECISE)
_, radius, _, center = cv2.minMaxLoc(dist_map)
result = cv2.cvtColor(mask, cv2.COLOR_GRAY2BGR)
cv2.circle(result, tuple(center), int(radius), (0, 0, 255), 2, cv2.LINE_8, 0)
# minEnclosingCircle directly by cv2
contours, _ = cv2.findContours(mask, cv2.RETR_TREE, cv2.CHAIN_APPROX_SIMPLE)[-2:]
center2, radius2 = cv2.minEnclosingCircle(np.concatenate(contours, 0))
cv2.circle(result, (int(center2[0]), int(center2[1])), int(radius2), (0, 255, 0,), 2)
cv2.imshow("mask", mask)
cv2.imshow("result", result)
cv2.waitKey(0)
来源：https://gist.github.com/DIYer22/f82dc329b27c2766b21bec4a563703cc
【讨论】：
解决这个问题的关键是首先进行观察：适合任意多边形内的最大圆的中心是以下点：
为什么？因为圆边缘上的每个点都与该中心等距。根据定义，最大的圆将具有最大的半径，并且将在至少两个点上与多边形接触，因此，如果您找到离多边形最远的点，您就找到了圆的中心。
这个问题出现在地理学中，并以任意精度迭代求解。它被称为不可访问的极点问题。见Poles of Inaccessibility: A Calculation Algorithm for the Remotest Places on Earth。
基本算法是这样工作的：
注意，如何测试一个点是否在多边形内：这部分问题的最简单解决方案是在该点的右侧投射一条射线。如果它穿过奇数条边，则它在多边形内。如果是偶数，则在外面。
此外，就测试到任何边缘的距离而言，您需要考虑两种情况：
(2) 很简单。到边的距离是到两个顶点的距离中的最小值。对于 (1)，该边缘上的最近点将是从您正在测试的点开始以 90 度角与边缘相交的点。见Distance of a Point to a Ray or Segment。
【讨论】：
总结：理论上，这可以在 O(n) 时间内完成。实际上，您可以在 O(n log n) 时间内完成。
广义 Voronoi 图。
如果您将多边形的顶点和边视为一组站点并将内部细分为“最近邻单元”，那么您将得到所谓的（广义）Voronoi 图。 Voronoi 图由节点和连接它们的边组成。节点的clearance 是到其定义多边形面的距离。
（这里的多边形甚至有洞；原理仍然有效。）
现在的关键观察是最大内切圆的中心接触多边形的三个面（顶点或边），没有其他面可以更接近。所以中心必须位于Voronoi节点上，即间隙最大的节点。
在上面的示例中，标记最大内切圆中心的节点接触多边形的两条边和一个顶点。
顺便说一下，中轴是 Voronoi 图，其中移除了从反射顶点发出的那些 Voronoi 边。因此，最大内接圆的圆心也位于中轴上。
来源：我的一个blog article，它在某个点处理最大内切圆的概括。在那里您可以找到有关 Voronoi 图及其与最大内切圆的关系的更多信息。
算法和实现。
您实际上可以计算 Voronoi 图。 Fortune, Voronoi 图的扫描线算法, SoCG'86 给出了用于点和线段的最坏情况 O(n log n) 算法。 Held 发布了具有预期 O(n log n) 时间复杂度的软件包Vroni，它实际上也计算了最大内切圆。 boost 中似乎也有实现。
对于简单的多边形（即没有孔），在 O(n) 时间内运行的时间最优算法归功于 Chin 等人，Finding the Medial Axis of a Simple Polygon in Linear Time，1999。
蛮力。
但是，正如您所说，您可以使用蛮力算法：简单地尝试所有三元组站点（顶点和边）怎么样。对于每个三元组，您找到候选 Voronoi 节点，即到三个站点的等距基因座，并检查是否有任何其他站点与候选最大内切圆相交。如果有交叉路口，您解雇候选人。从所有三胞胎中找出你能找到的最好的。
请参阅我的Master thesis 中的第 3 章，了解有关计算三个站点的等距基因座的更多详细信息。
【讨论】：
如果有人正在寻找实际的实现，我设计了一个更快的算法，可以在给定的精度下解决这个问题，并将它变成一个 JavaScript 库。它类似于@cletus 描述的迭代网格算法，但它保证获得全局最优，并且在实践中也快 20-40 倍。
【讨论】：
O(n log X) 算法，其中 X 取决于您想要的精度。
二分查找圆的最大半径R：
在每次迭代中，对于给定的半径 r，将每个边 E“向内”推 R，得到 E'。对于每个边 E'，将半平面 H 定义为多边形“内部”所有点的集合（使用 E' 作为边界）。现在，计算所有这些半平面 E' 的交集，这可以在 O(n) 时间内完成。如果交点不为空，那么如果你以交点中的任意一点为中心画一个半径为 r 的圆，它将在给定的多边形内。
【讨论】：
一个 O(n log(n)) 算法：
【讨论】：