在其并集是整个图的图中找到大小相等的互斥完整子图答案

【问题标题】：Finding equally-sized mutually exclusive complete subgraphs within a graph whose union is the entire graph在其并集是整个图的图中找到大小相等的互斥完整子图
【发布时间】：2021-06-22 22:15:00
【问题描述】：

输入
具有 n 个顶点和一个整数 k 的无向图 G，使得 k 除以 n。
所有顶点的集合用V表示。

输出
一组 S 的顶点集，使得：

S 有 k 个元素
S 的每个元素都是 G 中的一个完整子图（每个元素中的所有顶点在 G 中都共享一条边）
S 的所有元素都是互斥的（元素之间没有共同的顶点）
S的所有元素的并集等于V
S 的所有元素都有 n / k 基数

背景
我经营一个小型戏剧阅读小组，有时我们喜欢阅读大型戏剧。我想以这样一种方式为一个小团体投一部大戏，这样一个人就不会扮演一组彼此共享场景的角色。我意识到这个问题可以用图论来表述，我很好奇一个好的解决方案是什么样的。

【问题讨论】：

按照您描述的方式（包括标题），S 的任何一对元素之间（顶点）之间都不能有边。因此，只有当 G 与 k 断开连接时，才能存在解决方案或更多组件。那是你的意图吗？如果是这样，这更好地描述为装箱。
你有人物、人物和场景。人物到场景是一个固定的二分图。您需要一个从人到受约束的角色的二分图。正确的？你能解释一下它是如何映射到你的输入和输出定义的吗？ ñ？ k?
我怀疑这个问题是 NP 完全的（它似乎介于 clique 和 set cover 之间）。不过我没有证据。如果我能想出一个，我会把它作为一个完整的答案发布。
想必你也希望每个人都有尽可能多的角色，而不是让任何人没有角色？那么这会成为一个优化问题吗？
@IanMercer 已编辑以明确每个人应分配相同数量的角色。也可以——你可以用二分图来表述问题。问题中给出的准备好的表述是正确的原因如下：

标签： algorithm graph-theory subgraph undirected-graph

【解决方案1】：

这个问题基本等同于graph coloring。图着色给了我们一个图，并要求我们给每个节点一个颜色，这样没有边有相同颜色的端点。在这里，我假设节点是角色，边缘是至少在一个场景中一起出现的角色，颜色是扮演角色的人，你特别想要一种使用 k 种颜色的颜色（对于 k 个人）。

图形着色是 NP 难的，但除非图形很大，否则约束规划求解器（例如，CP-SAT）应该可以轻松使用它，并另外处理优化目标，例如（例如）最大化最小数量每个人的行数。

【讨论】：

在问题中，我的意思是边缘表示彼此不共享场景的角色。但是，用具有相反含义的边缘来制定问题并用图形着色来解决它是等效的——正如你所说。理想情况下，每种颜色都有相同数量的节点。