【问题标题】：Graph Algorithm To Find All Paths Between N Arbitrary Vertices查找 N 个任意顶点之间所有路径的图算法
【发布时间】：2011-02-12 23:39:02
【问题描述】：

我有一个具有以下属性的图表：

我正在寻找顶点的随机子集（至少 2 个）之间的路径。路径应该是只经过任何顶点一次的简单路径。

我的最终目标是拥有一组路线，以便您可以从一个子集顶点开始并到达任何其他子集顶点。跟随路线时不必经过所有子集节点。

我发现的所有算法（Dijkstra、深度优先搜索等）似乎都在处理两个顶点之间的路径和最短路径。

是否有已知算法可以提供连接这些顶点子集的所有路径（我想这些是子图）？

编辑：

我创建了一个（警告！程序员艺术）动画 gif 来说明我想要实现的目标：http://imgur.com/mGVlX.gif

有预处理和运行时两个阶段。

预处理

运行时

所以我的任务更多是创建连接所有蓝色节点的所有子图（路线），而不是创建从 A->B 的路径。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

有很多方法可以解决这个问题，为了不混淆，这里有一个单独的答案来解决你的核心问题的描述：

如果您一次只使用一个子图，那么查找所有可能的连接蓝色顶点的子图可能是多余的。我宁愿使用一种能找到单个但随机的算法（所以不是任何最短路径算法等，因为它总是相同的）。

如果您想保存这些子图之一，您只需保存用于随机数生成器的种子，您就可以再次生成相同的子图。

另外，如果你真的想找到一堆子图，随机算法仍然是一个不错的选择，因为你可以用不同的种子多次运行它。

唯一真正的缺点是你永远不会知道你是否找到了每一个可能的子图，但这听起来并不是你的应用程序的要求。

所以，关于算法：根据图表的属性，最佳算法可能会有所不同，但您总是可以从简单的随机游走开始，从一个蓝色节点开始，走到另一个蓝色节点（同时确保你没有走自己的旧脚步）。然后在该路径上选择一个随机节点并开始从那里走到下一个蓝色，依此类推。

对于某些图表，这具有非常糟糕的最坏情况复杂性，但可能足以满足您的情况。当然有更智能的方法可以找到随机路径，但我会从简单开始，看看它是否足够好。正如他们所说，过早的优化是邪恶的;)

【讨论】：

【解决方案2】：

一个简单的breadth-first search 将为您提供从一个源顶点到所有其他顶点的最短路径。因此，您可以从您感兴趣的子集中的每个顶点开始执行 BFS，以获取到所有其他顶点的距离。

请注意，在某些地方，BFS 将被描述为给出一对顶点之间的路径，但这不是必需的：您可以继续运行它，直到它访问了图中的所有节点。

此算法类似于Johnson's algorithm，但由于您的图表未加权，因此大大简化了。

时间复杂度：由于每个顶点的边数是恒定的，所以每个 BFS 会花费 O(n)，总的会花费 O(kn)，其中 n 是顶点数k 是子集的大小。作为比较，Floyd-Warshall 算法将花费 O(n^3)。

【讨论】：

【解决方案3】：

您要搜索的是（如果我理解正确的话）并不是所有路径，而是所有生成树。阅读有关生成树的维基百科文章here 以确定这些是否是您正在寻找的内容。如果是，那么您可能想阅读一篇论文：

【讨论】：

这与我正在寻找的最接近，但是如果我理解正确，生成树将包含图形的所有顶点。我还查看了“K-最小生成树”，但这似乎是为了寻找包含一定数量顶点的生成树，而不是连接特定顶点集的树。
你是对的，但是对算法进行专门化应该不会太难，这样它们就只考虑你感兴趣的顶点，而不是所有的顶点。即使这需要您修改算法，好处是您的问题应该比一般问题更容易。如果你愿意（如果我有时间的话），我可能会为了好玩而自己拍这张照片。