Q1：线性回归和混合效应模型如何处理因子变量？
A1：因子被编码为虚拟变量（1 = true，0 = false）。
例如，模型 1 的系数为：
coef(m1) #lm( distance ~ age + Sex)
#(Intercept) age SexFemale
# 17.7067130 0.6601852 -2.3210227
因此计算距离是：
距离 = 17.71 + 0.66*age - 2.32*SexFemale
其中，SexFemale 为男性为 0，女性为 1。这简化为：
男： 距离 = 17.71 + 0.66*年龄
女性：距离 = 15.39 + 0.66*年龄
如果模型有更多类别（例如超重、健康、体重不足），则相应添加虚拟变量：
R 代码：lm(距离 ~ 年龄 + weightStatus)
计算：距离 = 年龄 + weightIsOver + weightIsHealthy + weightIsUnder
为每种体重类型创建三个单独的系数，并根据个人的体重类型乘以 0 或 1。
Q2：如果我对因子变量的每个级别（m3 和 m4）都有一个单独的模型，这与模型 m1 和 m2 有什么不同？A2：斜率和截距根据您的模型而变化。
m1 是一个多元线性回归 (MLR)，其中截距随性别而变化，但年龄的斜率是相同的。我们也可以将其称为随机斜率。线性混合效应 (LME) 模型 m2 还指定了一个因性别而异的截距 (1|Sex)。
m3 和 m4 ~ 随机斜率和随机截距模型，因为数据是分开的。
让我们指定一个具有随机斜率和随机截距的 LME：
m2a <- lme(distance ~ age, data = Orthodont, random= ~ age | Sex,
control = lmeControl(opt="optim"))
#Changed the optimizer to achieve convergence
组合系数可以让我们检查模型的结构：
#Combine the model coefficients
coefs <- rbind(
coef(m1)[1:2],
coef(m1)[1:2] + c(coef(m1)[3], 0), #female coefficient added to intercept
coef(m2),
coef(m2a),
coef(m3),
coef(m4)); names(coefs) <- c("intercept", "age")
model.coefs <- data.frame(
model = paste0("m", c(1,1,2,2,"2a", "2a",3,4)),
type = rep(c("MLR", "LME randomIntercept", "LME randomSlopes",
"separate LM"), each=2),
Sex = rep(c("male","female"), 4),
coefs, row.names = 1:8)
model.coefs
# model model2 Sex intercept age #intercept & slope
#1 m1 MLR male 17.70671 0.6601852 #different same
#2 m1 MLR female 15.38569 0.6601852
#3 m2 LME randomIntercept male 17.67197 0.6601852 #different same
#4 m2 LME randomIntercept female 15.43622 0.6601852
#5 m2a LME randomSlopes male 16.65625 0.7540780 #different different
#6 m2a LME randomSlopes female 16.91363 0.5236138
#7 m3 separate LM male 16.34062 0.7843750 #different different
#8 m4 separate LM female 17.37273 0.4795455
Q3：哪种模型/方法最好？
A3：这取决于具体情况，但可能是混合效应模型。
在您的示例中， m3 和 m4 彼此没有关系，并且每个性别固有地具有不同的斜率。可以检查 LME 模型以确定是否需要随机斜率（例如anova(m2, m2a)）。当您有多个级别（例如学校内班级内的学生）和重复测量（同一主题或跨时间的多个测量）时，混合效应模型是通用的。您还可以使用这些模型指定covariance structures。
为了可视化这些不同的模型，让我们看一下Orthodont 数据：
library(ggplot)
gg <- ggplot(Orthodont, aes(age, distance, fill=Sex)) + theme_bw() +
geom_point(shape=21, position= position_dodge(width=0.2)) +
stat_summary(fun.y = "mean", geom="point", size=8, shape=22, colour="black" ) +
scale_fill_manual(values = c("Male" = "black", "Female" = "white"))
圆圈 = 原始数据，正方形 = 均值。距离似乎随年龄线性增加。男性的距离比女性高。斜坡也可能因性别而异，与男性相比，女性随着年龄的增长而增加的距离较小。 （注意：为了避免过度绘制，原始数据在 x 轴上已略微躲避。）
将我们的模型添加到数据中并放大：
gg1 <- gg +
geom_abline(data = model.coefs, size=1.5,
aes(slope = age, intercept = intercept, colour = type, linetype = Sex))
gg1 + coord_cartesian(ylim = c(21, 27)) #zoom in
在这里，我们看到具有随机截距的 LME 模型类似于 MLR 模型。具有随机截距和随机斜率的 LME 类似于子集数据上的单独 LM。
最后，这里是如何使用lme4 包制作m2 的等效项：
m2 <- lme(distance ~ age , data = Orthodont, random = ~ 1|Sex)
library(lme4)
m5 <- lmer(distance ~ age + (1|Sex), data = Orthodont) #same as m2
更多资源：
(Generalized) Linear Mixed Models FAQ
Comparing nlme and lme4 使用Orthodont 数据。