计算 R 中模拟随机变量的概率

Question

我有以下图表：

我需要从 A 到 B。我还假设我每天都在从 A 走最快的路线。

节点之间的行程时间（以小时为单位）呈指数分布。我在 R 中使用相关的 lambda 值对它们进行了如下模拟：

AtoX <- rexp(1000, 4)
AtoY <- rexp(1000, 2.5)
XtoY <- rexp(1000, 10)
YtoX <- rexp(1000, 10) 
XtoB <- rexp(1000, 3)
YtoB <- rexp(1000, 5)

我计算了R中每天的平均旅行时间如下：

AXB <- AtoX + XtoB
AYB <- AtoY + YtoB
AXYB <- AtoX + XtoY + YtoB
AYXB <- AtoY + YtoX + XtoB 

TravelTimes <- pmin(AXB, AYB, AXYB, AYXB)
averageTravelTime <- mean(TravelTimes)

我现在每天都在尝试查找以下内容：

1. 从 A 到 B 的四种可能路线中的每一种的概率是多少？

2. 我必须旅行超过半小时的概率是多少？

对于（1），我知道我需要为每条路线取累积分布函数（CDF）P（x

对于(2)，我理解需要取累积分布函数(CDF) P(0.5 => X)，其中0.5表示半小时。

我才刚刚开始学习 R，我不确定如何去做。

阅读文档，似乎我可能需要执行以下操作来计算 CDF：

pexp()

1 - pexp()

我该怎么做？

Answer 1

令 R1、R2、R3、R4 以某种顺序为对应于 4 条路线总时间的随机变量。然后，作为独立指数随机变量的总和，它们中的每一个都遵循 Erlang 或 Gamma 分布（参见here）。

要回答 1，您需要找到 P(min{R1, R2, R3, R4} = R_i) ，其中 i=1,2,3,4。虽然独立指数随机变量的最小值是易于处理的（请参阅here），但据我所知，Erlang/Gamma 分布通常不是这种情况。因此，我相信您需要使用模拟以数字方式回答这个问题。

第二个问题同样适用于求 P(min{R1, R2, R3, R4} >= 1/2)。

因此，我们有

table(apply(cbind(AXB, AYB, AXYB, AYXB), 1, which.min)) / 1000 
#     1     2     3     4 
# 0.312 0.348 0.264 0.076 

和

mean(TravelTimes >= 0.5)
# [1] 0.145

我们的估计。通过将 1000 增加到更高的数字（例如，1e6 工作得很快），可以使这些估计更精确。