使用mathematica计算特征值的问题

Question

基本上我试图找到矩阵的特征值，大约需要 12 个小时。当它完成时，它说它找不到所有的特征向量（实际上几乎没有），我对它确实找到的那些持怀疑态度。我真正能做的就是发布我的代码，我希望有人可以给我一些建议。我对mathematica 不是很有经验，也许运行时间慢和结果不好与我有关，而不是mathematica 的能力。感谢任何回复的人，我真的很感激。

cutoff = 500; (* set a cutoff for the infinite series *)
numStates = cutoff + 1; (* set the number of excited states to be printed *)
If[numStates > 10, numStates = 10];

    $RecursionLimit = cutoff + 256; (* Increase the recursion limit to allow for the specified cutoff *)
(* set the mass of the constituent quarks *)
m1 := mS; (* just supposed to be a constant *)
m2 := 0;

(* construct the hamiltonian *)
h0[n_,m_] := 4 Min[n,m] * ((-1)^(n+m) * m1^2 + m2^2);

v[0,m_] := 0;
v[n_,0] := 0;
v[n_,1] := (8/n) * ((1 + (-1)^(n + 1)) / 2);
v[n_,m_] := v[n - 1, m - 1] * (m/(m - 1)) + (8 m/(n + m - 1))*((1 + (-1)^(n + m))/2);

h[n_,m_] := h0[n,m] + v[n,m];

(* construct the matrix from the hamiltonian *)
mat = Table[h[n,m], {n, 0, cutoff}, {m, 0, cutoff}] // FullSimplify;

(* find the eigenvalues and eigenvectors, then reverse the order *)
PrintTemporary["Finding the eigenvalues"];
{vals, vecs} = Eigensystem[N[mat]] // FullSimplify;

$RecursionLimit = 256; (* Put the recursion limit back to the default *)

我的代码有点多，但这是它真正变慢的地方。我绝对应该提到的是，如果我将 m1 和 m2 都设置为零，我真的没有任何问题，但是将 m1 设置为常数会使一切都陷入困境。

Answer 1

这是蒂莫回答的后续。我想展示一个数字，所以我将其作为答案而不是评论。

假设您要查找具有 501 x 501 个符号元素的矩阵的特征值。 [顺便说一句，您称它们为常量，但这是用词不当。常量只是定义的，具有名称的固定值。您在 Timo 的回答中的评论中描述的是一个符号变量。]

很高兴了解完全符号矩阵对特征值计算的作用。这是一个 2 x 2 矩阵：

Array[f, {2, 2}] // Eigenvalues

(* ==> 
 {1/2 (f[1, 1]+f[2, 2]-Sqrt[f[1, 1]^2+4f[1, 2] f[2, 1]-2 f[1, 1] f[2, 2]+f[2, 2]^2]), 
 1/2(f[1, 1]+f[2, 2]+Sqrt[f[1, 1]^2+4 f[1, 2] f[2, 1]-2 f[1, 1] f[2, 2]+f[2, 2]^2])}   
*)

它占用Array[f, {2, 2}] // Eigenvalues//ByteCount = 3384 字节。这爆发得相当快：一个 7x7 解决方案已经占用了 70 MB（需要几分钟才能找到这个）。事实上，矩阵大小和字节数之间存在很好的关系：

拟合函数为：字节数 =E^(2.2403067075863197 + 2.2617380321848457 x 矩阵大小)。

如你所见，一个 501 x 501 符号矩阵的特征值在宇宙终结之前是找不到的。

[顺便说一句，矩阵的所有格形式是什么？]

Answer 2

您的问题是常量mS 仍然是符号。这意味着 Mathematica 正在尝试解析求解特征值而不是数值求解。如果您的问题允许您为mS 选择一个数值，您应该这样做。

您遇到的另一个不相关的问题是您正在使用递归公式并且您想要使用，例如，以下行中的记忆

v[n_, m_] := v[n, m] = v[n - 1, m - 1]*(m/(m - 1)) 
                     + (8 m/(n + m - 1))*((1 + (-1)^(n + m))/2);

额外的v[n, m] = 存储给定n 和m 的值，因此您不必每次在Table[] 中调用h[n, m] 时一直递归到v[0,0]。

处理完这两件事后，我的旧 core 2 duo 只需不到一分钟即可完成特征值。