使用 FFT 优化二维小波变换

Question

我目前的目标是针对 2D 信号（图像）优化我的快速小波变换 (FWT) 算法。它的工作原理如下：

• 一维 FWT 的一次迭代使用选定的一维滤波器（长度从 2 到大约 60）对一维输入数据进行卷积，并对结果进行下采样
• 2D 变换算法对输入图像的所有行和所有列执行 1D FWT
• 如果需要更多级别，它会进行迭代

变换是演示小波及其使用的交互式应用程序的一部分。它的工作速度相当快，通常实时响应用户的交互。但是如果过滤器很长，就会出现一些性能问题。我读过使用快速傅立叶变换 (FFT) 而不是卷积对于足够长的滤波器是有效的。

我已经实现了 1D FFT，但问题是如何使用它来实现最大效率？我是否应该在单个 1D FWT 之前转换输入数据，然后执行卷积（对应于频域中的乘法），然后使用逆 FFT 将数据转换回来？ 另外，乘法是如何完成的？例如，长度为 256 的输入数据和长度为 4 的滤波器都使用 FFT 进行转换，然后只有输入数据的前 4 个值相乘，然后再将数据转换回来？ 我在详细信息，非常感谢您对此的任何见解。

编辑： 我发现在我的情况下，我在循环卷积之后，因此过滤器应该是零填充的，以便它的长度与输入数据的长度相同。但是我关于效率的问题仍然存在。我应该如何使用 FFT 进行 FWT 计算才能发挥作用？

编辑 2： 此问题已在 dsp.stackexchange.com 上回答。

Answer 1

有一种非常优雅的方法可以做到这一点。如果您有兴趣，我可以挖掘我的代码，它是很久以前制作的（参见这两个出版物for the non-redundant(FWT) case（图 3）和for the shift-invariant case）。移位不变的情况可能不是您所追求的，但它使用相同的技巧。它的描述稍微彻底here in Appendix B。