从三角测量推断答案

【问题标题】：Extrapolate from triangulation从三角测量推断
【发布时间】：2016-12-27 14:02:26
【问题描述】：

假设我们有五个顶点：

三角测量：

T = [1 4 2;
     4 5 2;
     5 3 2];

以及在顶点上定义的函数值：

Fx = [1;
      2;
      3;
      4;
     -5];

然后我们可以使用重心坐标轻松计算三角形内任何点的函数值。对于位于第一个三角形中的点P = [1 .5]，其重心坐标为B = [.25 .5 .25]，因此该函数的计算结果为Fxi = 1/4 + 4/2 + 2/4 = 2.75。

但是，我很难理解如何推断这个表面。我们可以找到最近的三角形并从中推断。问题是这会导致函数不连续。考虑例如点P = [2 2]。根据三角形 1，其值为 -0.5，而根据三角形 3，其值为 9.5。

是否有从分段线性函数推断的“标准”或普遍接受的方法？任何指向现有材料的指针也非常感谢。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

一种可能性是Shepard的方法：

生成的函数对在顶点定义的输入值进行插值，并且是非线性的，但在其他任何地方都是连续的。

选择 p=2 通常会产生不错的结果。

【讨论】：

此方法不外推分段线性函数，而是生成其自身的函数，该函数不限于凸包。链接的 Wikipedia 文章中的第二个图显示了插值与我们对分段线性函数的期望有何不同。但是，因为这个答案确实提供了一个指向现有材料的指针，并且在没有任何其他答案的情况下，我将奖励它。它确实帮助我发现了关于这个主题的更多信息。
@Paul：你是对的。我只是在发布后才注意到我的答案的弱点/缺点。您正在寻找一种在三角剖分内保留线性插值函数并且在三角剖分之外连续/平滑的方法。发布我的答案后，我继续在 USI 的 Kai Hormann 的网站或德克萨斯州的 Scott Schaefer 和 Rice 的 Joe Warren 的网站上寻找现有的方法。但发现什么都没有。我认为您需要通过混合“最接近”的分段线性函数来自己“发明”它。感谢您的慷慨评价。

【解决方案2】：

要寻找的另一种技术是“非凸多边形的重心坐标”。

以下出版物显示（第 8 页等）权重函数在多边形外的行为

但是，即使这个解决方案在给定的三角剖分上也不是分段线性的。

【讨论】：