查找具有矩形真子矩阵的 2D 布尔矩阵的最小覆盖率答案

【问题标题】：Find minimum coverage of 2D boolean matrix with rectangular True submatrices查找具有矩形真子矩阵的 2D 布尔矩阵的最小覆盖率
【发布时间】：2022-11-02 19:40:43
【问题描述】：

给定布尔矩阵米，我需要找到一组子矩阵A = {A₁， ...，一个_n}这样矩阵在一个包含矩阵中的所有真值米只有他们。子矩阵不必是连续的，即每个子矩阵由两组索引定义{一世₁， ...，一世_ķ},{j₁, ..., j_吨}的米. （例如，子矩阵可能类似于 [{1, 2, 5}, {4, 7, 9, 13}]，它是这些行和列相交的所有单元格。）子矩阵的总数n应该是最小的。

矩阵的大小米可以达到 10^4 x 10^4，所以我需要一个有效的算法。我想这个问题可能没有一个有效的精确算法，因为它让我想起了一些 NP-hard 问题。如果这是真的，那么任何好的和快速的近似都是可以的。我们也可以建议真实值的数量不是很大，即<所有值的1/10，但是为了在prod中没有意外的DOS，不使用这个事实的解决方案更好。

我不需要任何代码，只需要算法的一般概念及其属性的证明，如果它不明显的话。

背景

我们正在为物流应用计算一些昂贵的距离矩阵。此请求中的点通常是相交的，因此我们正在尝试开发一些缓存算法来不计算某些请求的一部分。并将大请求拆分为只有未知子矩阵的较小请求。此外，该算法可能不需要矩阵中的某些距离。一方面，少量大组计算速度更快，另一方面，如果我们包含很多“False”值，并且我们的子矩阵大得不合理，这会减慢计算速度。确切的标准很复杂，“昂贵”的矩阵请求的时间复杂度很难估计。据我所知，对于方阵，它类似于 C*n^2.5 和相当大的 C。因此很难制定一个好的优化标准，但欢迎提出任何想法。

【问题讨论】：

子矩阵不能包含任何错误值？
你不是说假值的百分比吗？
好吧，实际上，老实说，我们可以允许一小部分错误值，但是如何严格定义优化标准并不明显。一般来说，矩阵集 A 应该是最小的子矩阵的大小和子矩阵的数量。我将添加一些有问题的背景。

标签： algorithm matrix optimization time-complexity graph-theory

【解决方案1】：

真实值循环
你能在任何方向增长包含真值的子矩阵吗

（即你可以从

至

tt
tt

)

尽可能长时间地保持增长
将 M 中新子矩阵中的所有单元格设置为 false
重复直到 M 中的每个单元格都是假的。

这是一个简单的例子，说明它是如何工作的

上图显示了包含几个真值的大矩阵 M

底部的行显示了前几次迭代，随着 blus submatric 发现更多具有真实值的相邻单元格而增长。在这种情况下，我已经停止了，因为如果不包括假细胞，它就无法继续生长。如果子矩阵中的一些单元格可能是错误的，那么您可以继续进一步。

【讨论】：

这种方法的问题在于，有时您可以有多个发展方向。例如，您可能需要在父亲视角未知的情况下，在 (3,3) 矩阵到 (4, 4)、(3, 5) 或 (5, 3) 之间进行选择。此外时间复杂度非常糟糕。每个增长搜索至少为 2 * size * len(M)。如果所有值都为 True，则会导致 len(M)^4 复杂度。
向任何方向和每一个方向成长。继续增长，直到你不能再增长。
增长搜索很小！在最坏的情况下，它是 SUBMATRIX 的 2 *（宽度 + 长度）（不是你建议的 M）所以第一次搜索只有 4 个单元格。
如果我们搜索连续子矩阵，它可以是 4 个单元格，但是我们会寻找任何子矩阵，因此对于一行中的每 2 个点，我们应该检查整个 2 列。
我认为你应该仔细阅读我的描述。您永远不必搜索整个列（或行），只需搜索与子矩阵相邻的单元格，看看是否可以再增长。