从高度 n 之一获得高度 n + 1 的二叉树

Question

“要从高度为 n 的一个中获得高度为 n + 1 的二叉树，我们最多可以创建两个叶子来代替之前的每个叶子。” 形式语言和自动机简介 - Peter Linz

有人可以向我解释（视觉上）我们如何通过将叶子加倍来获得高度为 n + 1 的二叉树吗？

Answer 1

引文中要强调的词是“代替”.

下面是一个高度为 2 的二叉树示例：

           1
          / 
         2   3
        /
       4

它有两片叶子：一片值为 3，另一片值为 4。

如果我们用一个小子树替换这些叶子中的每一个，该子树的父节点有 2 个叶子，那么我们得到：

           1
          / 
         2   3
        /   /  
       4   c   d
      / 
     a   b

在这里，我们看到生成的树的高度为 3。

一般来说，当一棵树的高度为?时，有至少该树中 ? 层的一片叶子（当从 0 开始层编号时）。当该叶子被替换为具有 2 个叶子的父节点的小子树时，很明显这些新叶子位于 ? + 1 层上，从而使树的高度为 ? + 1。

话“最多两片叶子”表明如果我们用只有一个父节点的小子树替换现有的叶子，上面的方法也可以工作一叶子。