Big Oh 最坏情况分析 - 循环内的 if 语句答案

【问题标题】：Big Oh worst case analysis - if statement inside loopBig Oh 最坏情况分析 - 循环内的 if 语句
【发布时间】：2022-09-23 04:56:53
【问题描述】：

对于下面代码的最坏情况分析，我认为它是 O(n^2)，但是我的教授声明它的 O(n)，认为每个元素的最大操作量是 2（一次推送和一次弹出） )。

既然是if-statement，不就是一个吗？ push 和 pop 的表现如何？
如果这是“最坏情况”，为什么我们不能争辩首先推送 n-1 个元素，然后在最后一次迭代中遍历整个堆栈，从而导致 O(n^2)？

void foo (int n){
    Stack<int> stack = new Stack();

    i = 0;

    while (i < n) {
        int key = random int from 1 to n
        
        if (key is odd) 
            stack.push(key);
        else {
            j = 0;

            while (j < key and !stack.isEmpty()){
                stack.pop();

            j = j + 1;
        }

        i = i + 1;
    }
}

如果你在数苹果，你知道你可以拿走它们，将它们重新组织成组，然后数组。您可以以任何方便的方式重新排列它们。你的教授只是用工作而不是苹果来做这件事。他可以重新排列已完成的工作单元并进行统计。他只是按照完成的元素对工作进行分组。
你是两个都完全正确。最坏的情况它做最多取O(n)，有n个步骤，所以这是O(n^2)。然而，这已经摊销由O(1) 表示 n - 1，所以也是O(n - 1 + n) = O(2n-1) = O(n);这是一个更严格的界限。
@Neil：你是对的，但是OP关于最后一次迭代的论点是错误的，因为只有最后一次......

标签： algorithm if-statement time-complexity big-o complexity-theory

【解决方案1】：

这里最好的情况是每个绘制的随机值都是偶数。在这种情况下，循环的每次迭代都只是无操作。没有项目将被推入堆栈或从堆栈中弹出。在最坏的情况下，每个抽取的随机值都是奇数。在这种情况下，每个项目都将被推入堆栈。

在最好和最坏的情况下，循环的运行时间都是O(n)。然而，在最坏的情况下，循环还需要O(n) 的堆栈存储空间。

请注意，在最坏情况下绘制许多赔率然后绘制偶数不会改变循环复杂度，它仍然是O(n)。

【讨论】：

最坏的情况可以协商。您还可以获得 n-1 次推送和 n-1 次弹出，而不仅仅是 n 次推送。（当然在渐近意义上没有区别。）
@YvesDaoust 是的，它可能会引入 2 倍，但不会改变运行时间或空间复杂度。
你的意思是渐近的复杂。它确实改变了普通的复杂性和运行时间。
我认为@YvesDaoust 的意思是，尽管对于大 O 表示法系数并不重要，但对于步数来说（就运行时间而言）最坏的情况是 n 赔率并不完全正确，因为它只导致 n推，而 n-1 赔率加 1 偶数导致 n-1 推和 n-1 弹出。

【解决方案2】：

这是一个棘手的问题！你的教授正在用与你不同的范式来解决这个问题（这有时很有帮助）。与其根据循环将做什么来考虑这个问题，不如根据每个元素被“触摸”多少次来考虑这个问题。

对于这个问题，你要“触摸”n程序执行期间的整数——这些是您正在操作的“元素”。对于每个元素，想想你的程序可以用它做什么。你怎么看？

你可以推那个元素到你的堆栈上，或者你可以流行音乐关了吧？

接下来，考虑这个问题：是否可以推送一个元素（整数）已经入栈回到堆栈上？

答案是不。一旦一个整数被压入堆栈，while 循环将永远不会返回该整数。变量一世总是递增但从不递减。

因此，对于每个元素，其中有n，你可以最多将其压入堆栈一次，最多弹出一次。渐近地，这可以解决上）复杂。

将来，当你在解决像这样一个棘手的问题时，试着看看改变你的范式是否有助于解决这个问题。 :)

【讨论】：

【解决方案3】：

你的老师是绝对正确的。

最多有n 推送，所以不能超过n 弹出。这证明了O(n) 的合理性。 [“在堆栈中循环的最后一次迭代”将只产生O(n)。]
当一个奇数被推送时，它可以稍后被弹出[在你自己的“最后一个”示例中，除了一个之外的所有元素都可以被推送然后弹出]。

【讨论】：

【解决方案4】：

很抱歉提供了这么多正确答案的答案，但用图表可能更容易解释。您对最坏情况的评估是正确的，堆栈以奇数构建，最后一个 n 或 n-1 是偶数，导致堆栈完全清空。在这种情况下，完成工作的粗略图，垂直，每水平时间为一个n。

最大工作量每步是n，有n 步。确实问题出在O(n^2)。这对应于填充一个正方形n x n:\sum_{t=1}^{n} n = n^2 \in O(n^2)。还你的老师是对的；通过将工作分成两部分，您可以实现更紧密的绑定：sum_{t=1}^{n-1} 1 + n = n - 1 + n = 2n - 1 \in O(n)。

有人可能会问，内循环的运行时间是多少？最坏的情况也是O(n)，因为堆栈为空。次n，是O(n^2)。在amortized analysis 中，您查看一系列操作。因此，您可以从高值中借用 a 来平衡它。这是O(1) 摊销每步。

【讨论】：