傅立叶系数的结果对窗口大小非常敏感？

Question

我正在尝试使用闪存中的窗口傅立叶级数制作频率分析仪，但我的窗口大小会极大地影响系数的大小。

我正在使用教科书中的公式来计算每一帧的系数：

     N-1
Ak = SUM { cos(freq*n*deltax) * pcmFloatValue}
     n=0

     N-1
Bk = SUM { sin(freq*n*deltax) * pcmFloatValue}
     n=0

其中 deltax 是样本之间的时间间隔，pcmFloatValue 是 *n*deltax* 处的时域值。在教科书上，积分限制是0到2PI，然后积分除以PI......但我认为我可以将它用于任何区间并消除除法。

所以我获取频率大小的代码在这里：

        var deltax:Number = 1 / 44100;
        var sumCos:Number = 0;
        var sumSin:Number = 0;
        var c:Number = 0;

        while (frameba.bytesAvailable > 32) {
            //trace("getMag", frameba.bytesAvailable);
            c++;
            var freq:Number = (number / (2 * Math.PI));
            var sample:Number = frameba.readFloat();

            sumCos += sample * deltax;
            sumCos *= Math.cos(freq * c * deltax)

            sumSin += sample * deltax;
            sumSin *=Math.sin(freq * c * deltax)
        }


        return Math.sqrt(sumCos * sumCos + sumSin * sumSin);

number 是以 Hz 为单位的频率，frameba 是 44100 Hz 音频的单声道采样。我每抓到一个frameba就调用这个函数，对应这段代码：

        var endCounter:Number = int(s.length / number); //get number of frames
        frameData = new Array();

        for ( var i:Number = 0; i < endCounter-1; i++) {
            var frameba:ByteArray = new ByteArray();

            var frameSize:Number = int((number / 1000) * 44100) * 4;
            monoba.readBytes(frameba, 0, frameSize);// grab new frame

            frameba.position = 0;
            var mag:Number=getMag(512, frameba); //this function is the code snippet i posted before this one
            frameData.push(mag*100000);

所以问题是当我有时改变窗口时，两个系数的幅度变得非常大，而且它不是线性的。当窗口为 42 毫秒时，我得到如下值：

    ...,0.46867691675958506,0.40119205703768124,1.076056196209733,0.4138200126843882,1.288280385823108,1.1605685308155427,...

当我将其设置为 100 毫秒时：

...,3.487381020768127,7.610466058045129,45.780152579896324,77.46963149803167,35.531672823487014,0.6057853252694128,...

当我将它设置为 500 毫秒时：

   ...,0.7132093539701988,0.561741462535126,0.5303097469754452,0.6267107444675019,0.5205164960161707,0.4828724689303949,...

所以它的平均大小不会不断增加。我不确定我是否做错了什么，我是否正确地考虑了这一点？

Answer 1

傅立叶系数对任何矩形窗口大小（FFT/DFT 长度 N）敏感，它不是被分析的任何重复波形的周期的精确倍数。

考虑一下。如果你只剪掉一个完整的正弦波的一部分，而你碰巧剪掉的部分留下了一个大部分为正或大部分为负的波瓣，那么这可能会使你的结果偏离一些加权的正数或负数。当您移动窗口或更改窗口长度时，您的信号会在一个周期的不同部分被这种斩波留下，从而导致不同的结果。

有人称其为频谱泄漏，其他人称其为与窗函数的卷积（显式或隐式）。您可以对此进行补偿，但通常只使用足够长的固定长度 FFT 和非矩形窗函数（Hamming 或 Von Hann 等）会更容易。

Answer 2

为了标准化您的结果，您需要将这些值除以 N。然后您应该得到或多或少一致的值，这些值与 N 无关。