包含矩阵幂的方程答案

【问题标题】：Equation containing a matrix power包含矩阵幂的方程
【发布时间】：2017-01-22 21:48:14
【问题描述】：

我有一个形式为 A^n*b =e= c 的方程，其中 A 是矩阵，b & c 是列向量。

n 是我的模型的固定数字，由常数确定。它很可能有数百个，并且会针对不同的解决方案进行更改。

A 是变量矩阵，b & c 是常数。

如何在游戏中制定 A^n*b =e= c？

可选：导致我这样做的模型是，我有一个带有连接矩阵 con(x,x2) 的图，表示当 x 和 x2 连接时 x 和 x2 之间的连接性。我想计算 2 个任意节点之间的连接，2 个节点 x 到 x2 之间的连接是从 x 到 x2 的所有路径的连接的总和。一条路径的连通性是该路径上所有连接的乘积。有没有更聪明的方法来制定这个约束，这样我就不必做矩阵求幂了？

A 不是对称的或可逆的，而是半正定的。

【问题讨论】：

标签： matrix gams-math

【解决方案1】：

您需要首先根据集合和参数定义数据。点击此链接了解更多关于 GAMS 中数据结构的信息：http://www.gams.com/latest/docs/userguides/userguide/_u_g__data_entry.html

首先定义问题的集合和参数，假设你有 100 个顶点，你可以像这样声明x 例如：

Set x /x1*x100/;
alias(x,x2);

因为您需要在矩阵中使用相同的集合两次，所以您必须定义一个 alias 以便 GAMS 将 x2 解释为与模型中的 x 相同。

然后，将n 和b 声明为参数，你可以这样做：

Parameter 
 n /200/
 c /100/;
Parameter b(x)
/
x1 3
x2 43
...
x100 23
/;

请注意，具有多个值（即向量或矩阵）的parameters 和variables 必须在 GAMS 中先前定义的set 上定义。这就是为什么 b 在集合 x 上定义的原因，将 x 视为向量/矩阵的索引。

A 的声明格式为：

Variable A(x,x2);

现在您可以使用这些集合、参数和变量来定义您的方程式：

eq(x,x2) .. power(A(x,x2),n) * B(x2) =e=  c;

当然，您仍然需要选择一个合适的求解器 (NLP) 并定义一个目标函数，但这就是您为想要的方程和变量建模的方式。

【讨论】：

幂不只是做幂运算，也就是 A_(x,x2)^n，而不是实际对所有 A 执行矩阵乘法，这是一个截然不同的结果？
是的，这绝对是真的。 GAMS 对于进行矩阵乘法 AFAIK 来说确实不理想，但是有一些实用程序可能会有所帮助，例如矩阵求逆和特征向量。我想我会提到他们，以防你没有看到他们。 gams.com/latest/docs/userguides/mccarl/matrix_utilities.htm我确定你的要求是可能的，但我不知道怎么做。
"我想计算 2 个任意节点之间的连接，2 个节点 x 到 x2 之间的连通性是从 x 到 x2 的所有路径的连通性之和。路径的连通性是路径上所有连接的乘积。有没有更聪明的方法来制定这个约束，这样我就不必做矩阵求幂了？听起来这可以通过循环和求和的组合很容易地完成。