前言
三角函数是高中阶段比较常见的周期函数，研究其性质或者解有关三角函数不等式时，肯定少不了周期性的考量。一般情况下基本周期我们都选\([0，2\pi]\)来研究，但不是所有问题都这样选取周期就简单，以下举例说明。
研究单调
分析：由于函数\(y=2sin(3x+\cfrac{\pi}{4}[X])+1\)的单调区间和函数\(y=sinX\)的单调区间相同，原因是函数\(y=sinx\)在纵轴方向上平移和伸缩时并不影响原函数的单调区间
故只需要研究\(y=sinX\)的单调性，就可以仿照完成问题的求解。
函数\(y=sinX\)在区间\([2k\pi-\cfrac{\pi}{2}，2k\pi-\cfrac{\pi}{2}](k\in Z)\)上单调递增，
在区间\([2k\pi+\cfrac{\pi}{2}，2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}](k\in Z)\)上单调递减，
故令\(3x+\cfrac{\pi}{4}\in [2k\pi-\cfrac{\pi}{2}，2k\pi+\cfrac{\pi}{2}](k\in Z)\)，
即得到原函数的单调递增区间；
令\(3x+\cfrac{\pi}{4}\in [2k\pi+\cfrac{\pi}{2}，2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}](k\in Z)\)，
即得到原函数的单调递减区间；
小结：本类问题中，基本周期的选择是\([-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{3\pi}{2}]\)，原因是这样选用的周期，得到的单调区间是连续的。如果选取基本周期为\([0，2\pi]\)，后续的表达由于不连续，反倒很不方便。
解不等式
分析：先转化为\(sin(x+\cfrac{\pi}{4})>\cfrac{1}{2}\)，此时基本周期选\([0，2\pi]\)，
可以看到，当\(sinx>\cfrac{1}{2}\)时，在基本周期内的解集为\((\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{5\pi}{6})\)，
故先令\(x+\cfrac{\pi}{4}\in (\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{5\pi}{6})\)，解得\(x\in (-\cfrac{\pi}{12}，\cfrac{7\pi}{12})\)
故在\(R\)上的原不等式的解集为\(x\in (2k\pi-\cfrac{\pi}{12}，2k\pi+\cfrac{7\pi}{12})(k\in Z)\)。
这时候我们如果选基本周期为\([0，2\pi]\)，就很不方便，
原因是\(sinx<\cfrac{1}{2}\)的解集为\([0，\cfrac{\pi}{6})\)和\((\cfrac{5\pi}{6}，2\pi)\)是不连续的，表达很不方便，
那么怎么样作能更好些呢？
此时我们可以选基本周期为\([\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{13\pi}{6}]\)，就很方便[当然也可选基本周期为\([\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{5\pi}{2}]\)，不再赘述]；
则先得到\(sin(x+\cfrac{\pi}{4})<\cfrac{1}{2}\)在基本周期内的解为\(x+\cfrac{\pi}{4}\in (\cfrac{5\pi}{6}，\cfrac{13\pi}{6})\)，
从而解得在基本周期内的解\(x \in (\cfrac{7\pi}{12}，\cfrac{23\pi}{12})\)，
然后拓展[就是给不等式的两边同时添加\(2k\pi(k\in Z)\)]，得到\(R\)上的原不等式的
解集为\(x\in (2k\pi+\cfrac{7\pi}{12}，2k\pi+\cfrac{23\pi}{12})(k\in Z)\)。