所有的周期函数都可以用三角函数表示吗？

呃，可能这个问题有点蠢，但是如果答案是否或者是都请给出证明，或者举一个反例然后证明其不能由三角函数表示出来（●─●）谢谢
呃，突然发现只要证明某个函数不能用三角函数表示就可以了，比如说反比例函数，取它的某一段作成周期函数，证明那一段不能用三角函数表示出来，可是还是不知道怎么证明，求助

1.先回答题主的问题：
函数可以展开成Fourier级数的充分必要条件我还没有见到过。现在可以用的一些命题是：
令 ${s_n}\left( {t,f} \right) = \frac{1}{\pi }\int_{ - \pi }^\pi {f\left( x \right)} {D_n}\left( {x - t} \right)dx$ ，这是f的Fourier级数在一点t处的n阶部分和（它是个卷积哦），其中 ${D_n}\left( u \right) = \frac{{\sin \left( {n + \frac{1}{2}} \right)u}}{{2\sin \frac{1}{2}u}}$ 为dirichlet核
那么lebesgue常数 ${L_n} = {s_n}\left( {0,{\mathop{\rm sgn}} {D_n}\left( x \right)} \right) \sim \left( {\frac{4}{{{\pi ^2}}}} \right)\ln n\left( {n \to \infty } \right)$ 。这对于你判断一个三角级数是否是某函数(当然它要是 $L(E)$ 的)的Fourier系数会有帮助（必要条件）。
Fejer给出了一个充分条件：
假如函数是 $L\left( {\left[ {0,2\pi } \right]} \right)$ 的，那么它的fourier级数在 ${\left[ {0,2\pi } \right]}$ 上几乎处处可切萨罗求和得这个函数。它的推论是：如果 $f$ 的fourier级数在正测度集 $E$ 上收敛，那么它在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f$ 。

由是我们可以构造这样一个函数，使得一个 $L\left( {\left[ {0,2\pi } \right]} \right)$ 的函数，它的fourier级数几乎处处无界发散：
在闭区间 ${\left[ {0,2\pi } \right]}$ 上选取n个点 ${A_k} = \frac{{4k\pi }}{{\left( {2n + 1} \right)}}$ ，假定一列奇数满足： ${\lambda _1} = 1,k \ge 2,{\lambda _k} > n$ ，定义一列数 $\left\{ {{m_k}} \right\}$ 和一系列区间 $\left\{ {{J_k}} \right\}$ 如下：
${m_k} + 1 = {\lambda _k}\left( {2n + 1} \right)$ ， ${J_k} = \left[ {{A_k} - 1/{m_k}^2,{A_k} + 1/{m_k}^2} \right]$ 。( $k=1,2,...n$ )
然后作函数： ${\varphi _n}\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {m_k}^2/n,x \in {J_k} \\ 0,x \in \left[ {0,2\pi } \right]\backslash \bigcup\limits_{k = 1}^n {{J_k}} \\ \end{array} \right.$ ，即为所需的反例。

这个周期函数就不可展成fourier级数。至于它的证明，实在太冗长了，也需要实变函数的知识才能理解。

傅里叶级数可以表示成某函数的充分必要条件很复杂（反正我还没见过），对它的研究主要还是集中在实变函数中。比较好的结果是在Dirichlet条件下的。

Dirichlet条件：设 $f$ 在 ${\left[ {0,2\pi } \right]}$ 上分段单调或分段可微（有可数个极值点），并且除可数多个第一类间断点外连续，则它的Fourier级数在 ${\left[ {0,2\pi } \right]}$ 上任一点 $x$ 收敛于 $\frac{{f\left( {{x_ + }} \right) + f\left( {{x_ - }} \right)}}{2}$ 。

我想题主所需要的函数大多满足那样的条件。但一般的微积分教材中都有叙述，我就不再叙述了。
此外，fourier级数与幂级数不同。每一个给定的幂级数，都是某函数的taylor级数；但每一个给定的三角函数，却不一定是某函数的fourier级数。

2.如果给的函数性质足够好，我们如何构造这个三角函数的表示？
你只需要知道，在 ${\left[ {0,2\pi } \right]}$ 上， ${e_n(x)}$ = $\left\{ {\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }},...\frac{{\cos nx}}{{\sqrt \pi }},\frac{{\sin nx}}{{\sqrt \pi }}},.... \right\}$ (n=1,2,...)中随便取两个乘起来再作积分，得到的是 ${\delta _{ij}}$ （i=j时为1，i≠j时为0）。这样，我们先假定写成（ ${e_n(x)}$ 已知，但系数未知） $f = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{c_n}{e_n}\left( x \right)}$ ，然后要算哪个 $c_n$ ，就两边同乘以 ${e_n(x)}$ ，积分就可以得到系数。

编辑于 2016-11-15