- 前置芝士：向量
1 数系扩充
考虑下面一个方程：$ax^2+bx+c=0(a != 0)$
我们知道如果$\Delta = b^2 - 4ac < 0$的话是没有实数根的。为了解决这个问题，我们要将实数集进一步扩充，这就要引入复数的知识。
为了解决负数不能开平方的为题，我们要引进一个新的记号$i$，$i^2=-1$。称$i$为虚数单位。
我们把集合$C = {a+bi|a,b \in R}$中的数称为复数。
复数通常用字母$z$来表示，即$z=a+bi$。称$a$为$z$的实部，记为$Re(z)$；$b$为$z$的虚部，记为$Im(z)$。
在复数集中任取两个数$z_{1} = a_{1} + b_{1}i, z_{2} = a_{2} + b_{2}i$，定义两个数相同当且仅当$a_{1} = a_{2}$ 且 $b_{1} = b_{2}$。
对于$z=a+bi$，当$a=0且b=0$时是实数$0$，当$a=0且b!=0$时是纯虚数，当$a!=0且b=0$时是实数，$b!=0$时是虚数。
注意：虚数是无序的，即不可比较大小，可以比较大小的复数是实数。
2 复数的表现形式
在$1$中我们介绍了向量的代数表现形式，接下来我们还会介绍几种表现形式。
复平面
复平面是一个二维平面，和普通的笛卡尔坐标系类似，不过$x$轴代表实部（称为实轴），$y$轴代表虚部（称为虚轴）。
几何形式
任何一个复数$z=a+bi$都一一对应到复平面上个一个点$(a,b)$。 实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数，其余的点表示虚数。
向量形式
任何一个复数$z=a+bi$都一一对应到一个平面向量$\vec{OZ}(a,b)$。 向量$\vec{OZ}$的模$r$叫做复数$z$的模记作$|z|$。
有以下一些性质：
- $|z|=r=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$
- $|z|=0当且仅当z=0$
- $|z|=|a+bi| \geq max{|a|,|b|}$
三角形式
设复数$z=a+bi$在复平面上的点是$Z(a,b)$。设$|OZ|=r, \angle{xOZ}=\theta$。则复数可以表示为$r(cos{\theta}+isin{\theta})$。$\theta$称为辐角，若$0 \leq \theta < 2\pi$则称为辐角主值。记作$\theta=Arg(z)$
复数的三角形式有很大的优越性，后面会讲到。
指数形式
定义复指数运算$e^{i \theta}=cos\theta+isin\theta$，则$z=r(cos\theta+isin\theta)=re^{i\theta}$。
证明需要用到高等数学的知识。
复数的运算
加减
两个复数的加（减）其实就是实部相加（相减），再虚部相加（相减）。
写作公式就是$z_1+z_2=a_1+b_1i \pm a_2+b_2i=(a_1 \pm a_2)+(b_1 \pm b_2)i$。
还可以写作向量的形式：$\vec{OZ_1}\pm\vec{OZ_2}=(a_1,b_1)\pm(a_2+b_2)=(a_1\pm a_2,b_1 \pm b_2)$。
向量的加减满足交换律和结合律。
乘除
复数乘除的代数形式。
这两个复数分别为$z=a+bi, w=c+di$，有：
$z \cdot w = (ac-bd)+(ad+bc)i$。
复数的乘法满足交换律，结合律和分配律。
$z^n$表示$n$个$z$的乘积。
设$a+bi=(c+di) \cdot (x+yi)=(cx-dy)+(cy+dx)i$，因为向量相等的充要条件是实部相等且虚部相等，所以有$cx-dy=a, cy+dx=b$。
解得：$x=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}, y=\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$
即$\frac{z}{w}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$
学了共轭复数之后还有另一种推到方式。
共轭复数与复数的模
一般的我们称实部相等，虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数，即$a+bi$和$a-bi$互为共轭复数。
复数$z$的共轭复数记为$\bar{z}$。
有如下一些性质：
- 在复平面上关于实轴对称
- $\bar{z \pm w}=\bar{z} \pm \bar{w}$
- $\bar{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w}$
- $z \cdot \bar{z}=|z|^2=a^2+b^2(z=a+bi)$
- $\bar{(\frac{x}{w})}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}}$
- 若$|z|=1$则$\bar{z}=\frac{1}{z}$