第五篇：线性代数和矩阵

线性代数

线性(linear)指量(变量)与量(变量)之间按比例、成直线关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数；而非线性(non-linear)是指不成比例、没有直线关系，一阶导数不是常数的函数。

线性代数中的基本量指的是向量，基本关系是严格的线性关系；也就是可以简单的将线性代数理解为向量与向量之间的线性关系的映射。

向量

向量的运算

正交向量

矩阵

矩阵：即描述线性代数中线性关系的参数，即矩阵是一个线性变换，可以将一些向量转换为另一些向量。

初等代数中，y=ax表示的是x到y的一种映射关系，其中a是描述这中关系的参数。

线性代数中，Y=AX表示的是向量X和Y的一种映射关系，其中A是描述这种关系的参数。

矩阵的直观表示

from sympy import integrate,Rational,exp,E,sin,pi,factor,pprint
from sympy.abc import x,y
from sympy.matrices import Matrix

#创建矩阵
m = Matrix([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
print(m)
pprint(m)
print()

#通过给定矩阵的大小和列表创建矩阵
m2 = Matrix(2,3,[i for i in range(6)])
pprint(m2)
print()

#通过元素与位置的映射函数创建矩阵
def f(i,j):
    if i == j:
        return 1
    else:
        return 0
m3 = Matrix(3,3,f)
pprint(m3)

矩阵与向量

from sympy import integrate,Rational,exp,E,sin,pi,factor,pprint
from sympy.abc import x,y
from sympy.matrices import Matrix
from sympy.vector import matrix_to_vector,CoordSys3D
C = CoordSys3D(\'C\')

#创建矩阵
m = Matrix([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
print(m)
v1 = m.row(0)
v2 = m.col(2)
v3 = m[0,:]
v5 = m[:,2]
print(\'v1：{}\'.format(v1))
print(\'v2：{}\'.format(v2))
print(\'v3：{}\'.format(v3))
print(\'v5：{}\'.format(v5))
v6 = matrix_to_vector(v1,C)
print(\'v6：{}\'.format(v6))
m2 = v6.to_matrix(C)
print(\'m2：{}\'.format(m2))

矩阵相等

from sympy.matrices import Matrix,eye

#创建矩阵
m = Matrix([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
m2 = Matrix(3,3,[i for i in range(1,10)])
m3 = eye(3)
print(\'m与m2是否相等：{}\'.format(m.equals(m2)))
print(\'m与m2是否同型：{}\'.format(m.shape == m2.shape))
print(\'m与m3是否相等：{}\'.format(m.equals(m3)))
print(\'m与m3是否同型：{}\'.format(m.shape == m3.shape))

方阵

负矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵

对角矩阵

from sympy.matrices import Matrix,eye,diag
from sympy import pprint
#创建矩阵
m = diag([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]],1,2,[3,6])
m2 = diag(1,2,3)
pprint(m)
print()
pprint(m2)

单位矩阵

from sympy.matrices import Matrix,eye,diag
from sympy import pprint
m = eye(5)
pprint(m)

零矩阵

from sympy.matrices import Matrix,zeros,diag
from sympy import pprint
m = zeros(5)
pprint(m)

矩阵的加减法

from sympy.matrices import Matrix
from sympy import pprint
A = Matrix([[1,2],[5,6]])
B = Matrix([[3,4],[7,8]])
print(\'A矩阵：\')
pprint(A)
print(\'B矩阵：\')
pprint(B)
print(\'A + B：\')
pprint(A+B)
print(\'A - B:\')
pprint(A-B)

矩阵与数的乘法

from sympy.matrices import Matrix
from sympy import pprint
A = Matrix([[1,0,2],[2,-1,3]])
B = Matrix([[1,3,4],[1,0,5]])
print(\'A矩阵：\')
pprint(A)
print(\'B矩阵：\')
pprint(B)
print(\'(-3)*A + 2B：\')
pprint((-3)*A+2*B)

矩阵与向量的乘法

from sympy.matrices import Matrix
from sympy import pprint
A = Matrix([[1,0,2],[2,-1,3]]) #矩阵
x = Matrix([1,2,3]) #向量
print(\'A*x：\')
pprint(A*x)

矩阵与矩阵的乘法

from sympy.matrices import Matrix
from sympy import pprint
A = Matrix([[1,1],[-1,-1]]) #矩阵
B = Matrix([[1,1],[1,1]]) #向量
C = Matrix([[-1,2],[3,0]])
print(\'A*B：\')
pprint(A*B)
print(\'B*A：\')
pprint(B*A)
print(\'A*C：\')
pprint(A*C)
print(\'A**2 = A*A：\')
pprint(A**2)

#操作矩阵每个元素的方法
print()
pprint(C.applyfunc(lambda x:x**2))

注意

（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.

（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.

（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.

（4）矩阵乘法中存在化零因子，而实数乘法中不存在化零因子。

（5）在实数运算系统中，如果方程有唯一解，等价的有消去律，矩阵乘法中没有，消去律不成立。

矩阵的转置

from sympy.matrices import Matrix
from sympy import pprint
A = Matrix([[1,1],[-1,-1]]) #矩阵
B = Matrix([[1,2],[5,6]]) #向量
C = Matrix([[-1,2],[3,0]])
print(\'A：\')
pprint(A)
print(\'A的转置：\')
pprint(A.T)
print(\'B：\')
pprint(B)
print(\'B的转置：\')
pprint(B.T)
print(\'C:\')
pprint(C)
print(\'C的转置\')
pprint(C.T)

对称矩阵

from sympy import pprint
from sympy.matrices import randMatrix #随机矩阵
import random
random.seed(28)
m = randMatrix(3,symmetric=True,prng=random)
pprint(m)

方阵行列式

代数余子式

from sympy import pprint
from sympy.matrices import Matrix
import random
random.seed(28)
m = Matrix([[3,1,4],[-1,2,-5],[1,3,0]])
print(m.det())

伴随矩阵

方阵的逆

from sympy import pprint
from sympy.matrices import Matrix
import random
random.seed(28)
m = Matrix([[3,1,4],[-1,2,-5],[1,3,0]])
m_det = m.det() #求矩阵的行列式
m_inv = m.inv() #求矩阵的逆：m**(-1)
print(\'m的伴随矩阵：\')
pprint(m_inv*m_det)

from sympy import pprint
from sympy.matrices import Matrix
import random
random.seed(28)
m = Matrix([[1,2,3],[2,2,1],[3,4,3]])
m_det = m.det() #求矩阵的行列式
print(m_det)
if m_det != 0:
    m_inv = m.inv() #求矩阵的逆：m**(-1)
    print(\'m的逆矩阵：\')
    pprint(m_inv)
else:
    print(\'不存在逆矩阵\')