如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)即显函数来表示。F(x,y)=0即隐函数是相对于显函数来说的。[1]
- 中文名
- 隐函数
- 外文名
- implicit function
- 应用学科
- 数学
- 适用领域范围
- 数学分析
- 分 类
- 数学
- 相关名词
- 函数
隐函数是由隐式方程所隐含定义的函数。设F（x,y）是某个定义域上的函数。如果存在定义域上的子集D，使得对每个x属于D，存在相应的y满足F(x,y)=0，则称方程确定了一个隐函数。记为y=y(x)。[2] 显函数是用y=f(x)来表示的函数，显函数是相对于隐函数来说的。 [3]
对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有 y\' 的一个方程，然后化简得到 y\' 的表达式。[1]
隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：
方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；
举个例子，若欲求z = f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z) = 0的形式，然后通过（式中F\'y,F\'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。
一个函数y=ƒ(x)，隐含在给定的方程
中，作为这方程的一个解（函数）。例如
如果不限定函数连续，则式中正负号可以随x而变,因而有无穷个解；如果限定连续，则只有两个解（一个恒取正号,一个恒取负号）；如果限定可微，则要排除x=±1，因而函数的定义域应是开区间(-1<x<1)，但仍然有两个解;如果还限定在适合原方程的一个点(x,y)=( x0,y0)的邻近范围内，则只有一个惟一的解（当起点(x0,y0)在上半平面时取正号，在下半平面时取负号）。
可见，即使在隐函数y=ƒ(x)难于解出的情形，也能够直接算出它的导数，唯一的条件是
隐函数理论的基本问题就是：在适合原方程(1)的一个点的邻近范围内，在函数F(x,y)连续可微的前提下，什么样的附加条件能使得原方程(1)确定一个惟一的函数y=ƒ(x)，不仅单值连续,而且连续可微，其导数由(2)完全确定。隐函数存在定理就用于断定(3)就是这样的一个条件，不仅必要，而且充分。
(x2)+ (y2)-(r2)=0
即 2x+2yy\'=0
于是得y\'=-x/y 。
从上例可以看到，在等式两边逐项对自变量求导数，即可得到一个包含y\'的一次方程， 解出y\'即为隐函数的导数。
解： 将方程两边同时对x求导，得：
2yy\'=2p
解出y\'即得
y\'=p/y
例3 求由方程y=x ln y所确定的隐函数y=f(x)的导数。
解：将方程两边同时对x求导，得
y’=ln y+xy\' /y
解出y\'即得 。