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重积分的应用
立体的体积
立体的体积
\(V=\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=\iiint\limits_\Omega dV\)
两张曲面之间的体积
设 \(g(x,y)\le f(x,y)\;\;\;\;(x,y)∈D\)
则 \(\Omega :\{(x,y,z)|g(x,y)\le z\le f(x,y)\;,\;\;\;(x,y)∈D\}\) 的体积
\(V=V_f-V_g=\iint_{D}=V_f-V_g=\iint\limits_Df(x,y)d\sigma -\iint\limits_Dg(x,y)d\sigma\)
曲面的面积
公式
\(A=\iint\limits_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}d\sigma\) （推导过程略）
计算方法
\((1)\) 确定曲面的方程：\(z=f(x,y)\)
\((2)\) 确定曲面在坐标面 \(z=0\) 上的投影区域 \(D\)
\((3)\) 在区域 \(D\) 上计算二重积分 \(A=\iint\limits_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}d\sigma\)