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常系数齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程 \(\;\boxed{y\'\'+py\'+qy=f(x)}\)
首先讨论（推导方法见笔记本）：
二阶常系数齐次线性微分方程 \(y\'\'+py\'+qy=0\)
\((1)\) 写出上式特征方程为：\(\lambda^2+p\lambda+q=0\)，求出特征根
\(\lambda_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}\)
\((2)\) 根据特征根的不同情形，按下表写出通解
实根 \(\lambda_1\ne\lambda_2\)：\(y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\)
实根 \(\lambda_1=\lambda_2\)：\(y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_2x}\)
共轭复根 \(\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta\)：\(y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)\)