条件
首先对傅里叶变换的条件进行一个讨论，也就是狄里赫利条件
- 在任何周期内,f(x)需绝对可积;
- 在任一有限区间中,f(x)只能取有限个最大值或最小值;
- 在任何有限区间上,f(x)只能有有限个第一类间断点。
结合傅里叶变换的形式：
f
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
F
(
w
)
e
i
w
x
d
w
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}F(w)e^{iwx}dw
f(x)=2π1∫−∞∞F(w)eiwxdw，
F
(
w
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
i
w
x
d
x
F(w)=\int^\infty_{-\infty}f(x)e^{-iwx}dx
F(w)=∫−∞∞f(x)e−iwxdx
在一个广泛积分的操作之下，要求
f
(
x
)
f(x)
f(x)要可以积分，并且积分要有意义（收敛），才能保证对于相应的函数的拟合，所以能进行傅里叶变换的函数的范围就变小了。
拓展
为了使变换的函数范围更加广泛，需要对原先的函数进行一个修改，使新的函数可以尽可能满足要求，于是添加一个衰减因子，选用的是一个指数函数 e − b x e^{-bx} e−bx，于是原先的 f ( x ) f(x) f(x)就变为了 f ( x ) e − b x f(x)e^{-bx} f(x)e−bx，只要b足够的大则新的函数 g ( x ) = f ( x ) e − b x g(x)=f(x)e^{-bx} g(x)=f(x)e−bx对应的就存在傅里叶变换。
形式
带入之后
F
(
w
)
=
∫
−
∞
∞
g
(
x
)
e
−
i
w
x
d
x
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
b
x
e
−
i
w
x
d
x
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
(
b
+
i
w
)
x
d
x
F(w)=\int^\infty_{-\infty}g(x)e^{-iwx}dx=\int^\infty_{-\infty}f(x)e^{-bx}e^{-iwx}dx=\int^\infty_{-\infty}f(x)e^{-(b+iw)x}dx
F(w)=∫−∞∞g(x)e−iwxdx=∫−∞∞f(x)e−bxe−iwxdx=∫−∞∞f(x)e−(b+iw)xdx
令
s
=
b
+
i
w
s=b+iw
s=b+iw有
F
(
s
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
s
x
d
x
F(s)=\int^\infty_{-\infty}f(x)e^{-sx}dx
F(s)=∫−∞∞f(x)e−sxdx。
同样逆变换有：
f
(
x
)
e
−
b
x
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
F
(
s
)
e
i
w
x
d
w
f(x)e^{-bx}=\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}F(s)e^{iwx}dw
f(x)e−bx=2π1∫−∞∞F(s)eiwxdw，对应
d
s
ds
ds与
d
w
dw
dw有
d
s
=
i
d
w
ds=idw
ds=idw，于是有：
f
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
F
(
s
)
e
i
w
x
e
b
x
d
w
=
1
2
π
i
∫
b
−
i
∞
b
+
i
∞
F
(
s
)
e
s
x
d
s
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}F(s)e^{iwx}e^{bx}dw=\frac{1}{2\pi i}\int^{b+i\infty}_{b-i\infty}F(s)e^{sx}ds
f(x)=2π1∫−∞∞F(s)eiwxebxdw=2πi1∫b−i∞b+i∞F(s)esxds
与傅里叶变换相比，变换之后的变量为一个虚数，有虚部和实部两部分，其中的实部来源于衰减因子，用于放宽满足条件的函数的范围，同时也可以将傅里叶变化看作特殊的（条件苛刻的）拉普拉斯变换。
推导
这里主要是瞥一眼这几个东西的联系：级数，积分，变换。
以一个常用的幂级数来举例：
∑
n
=
0
∞
a
n
x
n
\sum^\infty_{n=0}a_nx^n
∑n=0∞anxn
这里的
a
n
a_n
an可以换一种表达，比如关于n的离散的函数
f
(
n
)
=
a
n
f(n)=a_n
f(n)=an，于是原先的
∑
n
=
0
∞
a
n
x
n
\sum^\infty_{n=0}a_nx^n
∑n=0∞anxn变为
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
x
n
\sum^\infty_{n=0}f(n)x^n
∑n=0∞f(n)xn，进一步在无穷细分的过程中离散的量趋向于连续，于是有
∫
0
∞
f
(
n
)
x
n
d
n
\int_0^\infty f(n)x^ndn
∫0∞f(n)xndn，换一个字母可能好看点
∫
0
∞
f
(
t
)
x
t
d
t
\int_0^\infty f(t)x^tdt
∫0∞f(t)xtdt。
∑
n
=
0
∞
a
n
x
n
\sum^\infty_{n=0}a_nx^n
∑n=0∞anxn -------------------离散量
∫
0
∞
f
(
n
)
x
n
d
n
\int_0^\infty f(n)x^ndn
∫0∞f(n)xndn ---------------连续量
更进一步将这个幂级数看为一个级数函数
F
(
x
)
=
∫
0
∞
f
(
t
)
x
t
d
t
F(x)=\int_0^\infty f(t)x^tdt
F(x)=∫0∞f(t)xtdt
这里的x也要满足条件，其范围必须被限制，同样
f
(
x
)
f(x)
f(x)也会被限制，对应到级数是相应的级数要收敛，对应到这里也就是变换了，其对应也就是狄里赫利条件，显然x的范围在
(
0
,
1
)
(0,1)
(0,1)之间对于指数积分来说是比较安全的。进一步将x的形式改变一下
x
=
e
l
n
x
x=e^{lnx}
x=elnx，原式就成了
∫
0
∞
f
(
t
)
e
t
l
n
x
d
t
\int_0^\infty f(t)e^{tlnx}dt
∫0∞f(t)etlnxdt，这里由于x在
(
0
,
1
)
(0,1)
(0,1)上，于是有
l
n
x
<
0
lnx<0
lnx<0，到这里与拉普拉斯变换就很近了，将
s
=
−
l
n
x
s=-lnx
s=−lnx就一模一样了，最后得到
F
(
s
)
=
∫
0
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt
F(s)=∫0∞f(t)e−stdt。
虽然这里的代换有点生涩，但是通过这种美化的方式，我们得以从级数，积分/求和(离散/连续)的角度来理解变换，与一般的函数相比，变换后变量也发生了改变，但是描述的对象还是同一个对象，只是获取了其另一个角度的面貌，或者说是获得了其另一个特征。