5.拉普拉斯变换

0.引言

  拉普拉斯变换可以处理常系数ode当非齐次项为非连续或者脉冲函数的情形。

1.定义

  函数$f(x)$f(x)的拉普拉斯变换$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$F(s)=L{f(t)}按照以下积分进行定义：
$F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t) d t\tag{1}$F(s)=∫0∞​e−stf(t)dt(1)

式中，$s$s的值需使以上积分收敛。
  拉普拉斯变换是一个线性变换(易证)，即$\mathcal{L}\left\{c_{1} f_{1}(t)+c_{2} f_{2}(t)\right\}=c_{1} \mathcal{L}\left\{f_{1}(t)\right\}+c_{2} \mathcal{L}\left\{f_{2}(t)\right\}\tag{2}$L{c1​f1​(t)+c2​f2​(t)}=c1​L{f1​(t)}+c2​L{f2​(t)}(2)

1.1 例子

$\begin{aligned} \mathcal{L}\left\{e^{a t}\right\} &=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a) t} d t \\ &\left.=-\frac{1}{s-a} e^{-(s-a) t}\right]_{0}^{\infty} \\ &=\frac{1}{s-a} \end{aligned}\tag{3}$L{eat}​=∫0∞​e−(s−a)tdt=−s−a1​e−(s−a)t]0∞​=s−a1​​(3)

注：要使式(3)的积分收敛，需有$s>a$s>a

2.常系数微分方程的拉式变换

  对于如下非齐次常系数二阶ode
$a \ddot{x}+b \dot{x}+c x=g(t), \quad x(0)=x_{0}, \quad \dot{x}(0)=u_{0}\tag{4}$ax¨+bx˙+cx=g(t),x(0)=x0​,x˙(0)=u0​(4)
两边取拉式变换，并考虑拉式变换是一种线性变换，可得
$a \mathcal{L}\{\ddot{x}\}+b \mathcal{L}\{\dot{x}\}+c \mathcal{L}\{x\}=\mathcal{L}\{g\}\tag{5}$aL{x¨}+bL{x˙}+cL{x}=L{g}(5)

函数导数的拉式变换可由分步积分求得：
$\int_{0}^{\infty} e^{-s t} \dot{x} d t=\left.x e^{-s t}\right|_{0} ^{\infty}+s \int_{0}^{\infty} e^{-s t} x d t=s X(s)-x_{0}\tag{6}$∫0∞​e−stx˙dt=xe−st∣∣​0∞​+s∫0∞​e−stxdt=sX(s)−x0​(6)

$\int_{0}^{\infty} e^{-s t} \ddot{x} d t=\left.\dot{x} e^{-s t}\right|_{0} ^{\infty}+s \int_{0}^{\infty} e^{-s t} \dot{x} d t=-u_{0}+s\left(s X(s)-x_{0}\right)=s^{2} X(s)-s x_{0}-u_{0}\tag{7}$∫0∞​e−stx¨dt=x˙e−st∣∣​0∞​+s∫0∞​e−stx˙dt=−u0​+s(sX(s)−x0​)=s2X(s)−sx0​−u0​(7)

注:要使(6)(7)能够收敛，需要$s>0$s>0。
则式(5)为
$a\left(s^{2} X-s x_{0}-u_{0}\right)+b\left(s X-x_{0}\right)+c X=G\tag{8}$a(s2X−sx0​−u0​)+b(sX−x0​)+cX=G(8)

  这是一个关于$X=X(s)$X=X(s)的代数方程，容易求解。之后，对$X=X(s)$X=X(s)进行拉式反变换来求$x=x(t)$x=x(t)。
注：求解示意图

3.单位阶跃函数

  单位阶跃函数$u_{c}(t)$uc​(t)定义为
$u_{c}(t)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & t<c \\ 1, & t \geq c \end{array}\right.\tag{9}$uc​(t)={0,1,​t<ct≥c​(9)

要使上式有实际物理意义，需有$c>0$c>0
  阶跃函数的拉式变换为
$\mathcal{L}\left\{u_{c}(t)\right\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} u_{c}(t) d t=\frac{e^{-c s}}{s}\tag{9}$L{uc​(t)}=∫0∞​e−stuc​(t)dt=se−cs​(9)

要使上式积分收敛，需要$s>0$s>0。

3.1 表示滞后函数

  阶跃函数可以被用于表示函数$f(t)$f(t)向$t$t的正方向平移$c$c后的函数(该函数和$f(t)$f(t)相比滞后了$c$c):
$u_{c}(t) f(t-c)=\left\{\begin{aligned} 0, & t<c \\ f(t-c), & t \geq c \end{aligned}\right.\tag{10}$uc​(t)f(t−c)={0,f(t−c),​t<ct≥c​(10)

其拉式变换为$\mathcal{L}\left\{u_{c}(t) f(t-c)\right\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} u_{c}(t) f(t-c) d t=e^{-c s} F(s)\tag{11}$L{uc​(t)f(t−c)}=∫0∞​e−stuc​(t)f(t−c)dt=e−csF(s)(11)

3.2 表示分段函数

  分段函数$f(t)=\left\{\begin{array}{ll} f_{1}(t), & \text { if } t<c \\ f_{2}(t), & \text { if } t \geq c \end{array}\right.\tag{12}$f(t)={f1​(t),f2​(t),​ if t<c if t≥c​(12)

可以利用单位阶跃函数写成
$f(t)=f_{1}(t)+\left(f_{2}(t)-f_{1}(t)\right) u_{c}(t)\tag{13}$f(t)=f1​(t)+(f2​(t)−f1​(t))uc​(t)(13)

4.狄拉克函数

  用极限的方式进行定义：
$\delta(t-c)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{2 \epsilon}\left(u_{c-\epsilon}(t)-u_{c+\epsilon}(t)\right)\tag{14}$δ(t−c)=ϵ→0lim​2ϵ1​(uc−ϵ​(t)−uc+ϵ​(t))(14)

考虑到实际物理意义，一般有$c>0$c>0。
函数图像如图所示：

  其拉氏变换为
$\mathcal{L}\{\delta(t-c)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} \delta(t-c) d t=e^{-c s}\tag{15}$L{δ(t−c)}=∫0∞​e−stδ(t−c)dt=e−cs(15)
狄拉克函数的三个性质如下：

1. $\delta(a x)=\frac{1}{|a|} \delta(x)$δ(ax)=∣a∣1​δ(x)
2. $u_{c}(x)=\int_{-\infty}^{x} \delta\left(x^{\prime}-c\right) d x^{\prime}$uc​(x)=∫−∞x​δ(x′−c)dx′
3. $\delta(x-c)=\frac{d}{d x} u_{c}(x)$δ(x−c)=dxd​uc​(x)

利用函数的定义(14)容易证明。