y=arctanx,则x=tany
arctanx′bai=1／tany′
tany′=(siny/cosy)′=（cosycosy-siny(-siny）)/cos²y=1/cos²y
则arctanx′=cos²y=cos²y/（sin²y+cos²y）=1/（1+tan²y）=1/1+x²
故最终答案是1/（1+x²）
这一步求出了y=arctanx的导数，要求其幂级数可以观察1/（1+x²）可以展开为幂级数。故应当展开1/（1+x²）。
或者这样：
再来看刚好在收敛半径上的点：
当然可以利用高阶导数开进行泰勒展开：
附上完整版：
1、arctanx 的麦克劳林级数展开式，必须分三段考虑：
-∞ ≤ x ≤ -1、-1 < x < +1、1 < x < +∞
2、分成zhi三段的原因是：
A、在展开过程中，必须先求导，再积分；
B、在求导跟积分之间，必须运用公比小于1的无穷等比数列求和公式；
C、运用等比求和公式时，必须考虑收敛与否，因此必须分成两部分：
|x| < 1、|x| ≥ 1；
D、在 |x| ≥ 1 时，有必须考虑积分的下限问题，因此还得再分为二。