【分治法】最接近点对问题（转）

转自：http://blog.csdn.net/liufeng_king/article/details/8484284

问题场景：在应用中，常用诸如点、圆等简单的几何对象代表现实世界中的实体。在涉及这些几何对象的问题中，常需要了解其邻域中其他几何对象的信息。例如，在空中交通控制问题中，若将飞机作为空间中移动的一个点来看待，则具有最大碰撞危险的2架飞机，就是这个空间中最接近的一对点。这类问题是计算几何学中研究的基本问题之一。

      问题描述：给定平面上n个点，找其中的一对点，使得在n个点的所有点对中，该点对的距离最小。严格地说，最接近点对可能多于1对。为了简单起见，这里只限于找其中的一对。

      1、一维最接近点对问题

       算法思路：

       这个问题很容易理解，似乎也不难解决。我们只要将每一点与其他n-1个点的距离算出，找出达到最小距离的两个点即可。然而，这样做效率太低，需要O(n^2)的计算时间。在问题的计算复杂性中我们可以看到，该问题的计算时间下界为Ω(nlogn)。这个下界引导我们去找问题的一个θ(nlogn)算法。采用分治法思想，考虑将所给的n个点的集合S分成2个子集S1和S2，每个子集中约有n/2个点，然后在每个子集中递归地求其最接近的点对。在这里，一个关键的问题是如何实现分治法中的合并步骤，即由S1和S2的最接近点对，如何求得原集合S中的最接近点对，因为S1和S2的最接近点对未必就是S的最接近点对。如果组成S的最接近点对的2个点都在S1中或都在S2中，则问题很容易解决。但是，如果这2个点分别在S1和S2中，则对于S1中任一点p，S2中最多只有n/2个点与它构成最接近点对的候选者，仍需做n^2/4次计算和比较才能确定S的最接近点对。因此，依此思路，合并步骤耗时为O(n^2)。整个算法所需计算时间T(n)应满足:　T(n)=2T(n/2)+O(n^2)。它的解为T(n)=O(n^2)，即与合并步骤的耗时同阶，这不比用穷举的方法好。从解递归方程的套用公式法，我们看到问题出在合并步骤耗时太多。这启发我们把注意力放在合并步骤上。      

      设S中的n个点为x轴上的n个实数x1,x2,..,xn。最接近点对即为这n个实数中相差最小的2个实数。我们显然可以先将x1,x2,..,xn排好序，然后，用一次线性扫描就可以找出最接近点对。这种方法主要计算时间花在排序上，在排序算法已经证明，时间复杂度为O(nlogn)。然而这种方法无法直接推广到二维的情形。因此，对这种一维的简单情形，我们还是尝试用分治法来求解，并希望能推广到二维的情形。假设我们用x轴上某个点m将S划分为2个子集S1和S2，使得S1={x∈S|x≤m}；S2={x∈S|x>m}。这样一来，对于所有p∈S1和q∈S2有p<q。递归地在S1和S2上找出其最接近点对{p1,p2}和{q1,q2}，并设d=min{|p1-p2|,|q1-q2|}，S中的最接近点对或者是{p1,p2}，或者是{q1,q2}，或者是某个{p3,q3}，其中p3∈S1且q3∈S2。如图所示。

     如果S的最接近点对是{p3,q3}，即|p3-q3|<d，则p3和q3两者与m的距离不超过d，即|p3-m|<d，|q3-m|<d，也就是说，p3∈(m-d,m]，q3∈(m,m+d]。由于在S1中，每个长度为d的半闭区间至多包含一个点（否则必有两点距离小于d），并且m是S1和S2的分割点，因此(m-d,m]中至多包含S中的一个点。同理，(m,m+d]中也至多包含S中的一个点。由图可以看出，如果(m-d,m]中有S中的点，则此点就是S1中最大点。同理，如果(m,m+d]中有S中的点，则此点就是S2中最小点。因此，我们用线性时间就能找到区间(m-d,m]和(m,m+d]中所有点，即p3和q3。从而我们用线性时间就可以将S1的解和S2的解合并成为S的解。也就是说，按这种分治策略，合并步可在O(n)时间内完成。这样是否就可以得到一个有效的算法了呢？还有一个问题需要认真考虑，即分割点m的选取，及S1和S2的划分。选取分割点m的一个基本要求是由此导出集合S的一个线性分割，即S=S1∪S2 ，S1∩S2=Φ，且S1={x|x≤m}；S2={x|x>m}。容易看出，如果选取m=[max(S)+min(S)]/2，可以满足线性分割的要求。选取分割点后，再用O(n)时间即可将S划分成S1={x∈S|x≤m}和S2={x∈S|x>m}。然而，这样选取分割点m，有可能造成划分出的子集S1和S2的不平衡。例如在最坏情况下，|S1|=1，|S2|=n-1，由此产生的分治法在最坏情况下所需的计算时间T(n)应满足递归方程:
   T(n)=T(n-1)+O(n)
    它的解是T(n)=O(n^2)。这种效率降低的现象可以通过分治法中“平衡子问题”的方法加以解决。即通过适当选择分割点m，使S1和S2中有大致相等个数的点。自然地，我们会想到用S的n个点的坐标的中位数来作分割点。在选择算法中介绍的选取中位数的线性时间算法使我们可以在O(n)时间内确定一个平衡的分割点m。

       本程序确定平衡点采用m=[max(S)+min(S)]/2方法。如果需要利用中位数作分割点，看结合笔者博文《0005算法笔记——线性时间选择》改写。

     一维最接近临近点对问题程序清单如下：

//2d10-1 一维最邻近点对问题  
#include "stdafx.h"  
#include <ctime>  
#include <iostream>   
using namespace std;   
  
const int L=100;  
//点对结构体  
struct Pair  
{  
    float d;//点对距离  
    float d1,d2;//点对坐标  
};  
float Random();  
int input(float s[]);//构造S  
float Max(float s[],int p,int q);  
float Min(float s[],int p,int q);  
template <class Type>  
void Swap(Type &x,Type &y);  
template <class Type>  
int Partition(Type s[],Type x,int l,int r);  
Pair Cpair(float s[],int l,int r);  
  
int main()  
{  
    srand((unsigned)time(NULL));  
    int m;  
    float s[L];  
    Pair d;  
    m=input(s);  
    d=Cpair(s,0,m-1);  
    cout<<endl<<"最近点对坐标为： (d1:"<<d.d1<<",d2:"<<d.d2<<")";  
    cout<<endl<<"这两点距离为： "<<d.d<<endl;  
    return 0;  
}  
  
  
float Random()  
{  
    float result=rand()%10000;  
     return result*0.01;  
}  
  
int input(float s[])  
{  
    int length;  
    cout<<"输入点的数目： ";  
    cin>>length;  
    cout<<"点集在X轴上坐标为：";  
    for(int i=0;i<length;i++)  
    {  
        s[i]=Random();  
        cout<<s[i]<<" ";  
    }  
      
    return length;  
}  
  
  
float Max(float s[],int l,int r)//返回s[]中的最大值  
{  
    float s_max=s[l];  
    for(int i=l+1;i<=r;i++)  
        if(s_max<s[i])  
            s_max=s[i];  
    return s_max;  
}  
  
float Min(float s[],int l,int r)//返回s[]中的最小值  
{  
    float s_min=s[l];  
    for(int i=l+1;i<=r;i++)   
        if(s_min>s[i])  
            s_min=s[i];  
    return s_min;  
}  
  
template <class Type>  
void Swap(Type &x,Type &y)  
{  
    Type temp = x;  
    x = y;  
    y = temp;  
}  
  
template <class Type>  
int Partition(Type s[],Type x,int l,int r)  
{  
    int i = l - 1,j = r + 1;  
  
    while(true)  
    {  
        while(s[++i]<x && i<r);  
        while(s[--j]>x);  
        if(i>=j)  
        {  
            break;  
        }  
        Swap(s[i],s[j]);  
    }  
    return j;  
}  
  
//返回s[]中的具有最近距离的点对及其距离  
Pair Cpair(float s[],int l,int r)  
{  
    Pair min_d={99999,0,0};//最短距离  
  
    if(r-l<1) return min_d;  
    float m1=Max(s,l,r),m2=Min(s,l,r);  
  
    float m=(m1+m2)/2;//找出点集中的中位数  
  
    //将点集中的各元素按与m的大小关系分组  
    int j = Partition(s,m,l,r);  
  
    Pair d1=Cpair(s,l,j),d2=Cpair(s,j+1,r);//递归  
    float p=Max(s,l,j),q=Min(s,j+1,r);  
  
    //返回s[]中的具有最近距离的点对及其距离  
    if(d1.d<d2.d)  
    {  
        if((q-p)<d1.d)  
        {  
            min_d.d=(q-p);  
            min_d.d1=q;  
            min_d.d2=p;  
            return min_d;  
        }  
        else return d1;  
    }  
    else  
    {  
        if((q-p)<d2.d)  
        {  
            min_d.d=(q-p);  
            min_d.d1=q;  
            min_d.d2=p;  
            return min_d;  
        }  
        else return d2;  
    }  
}  

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