数据结构（三十六）关键路径

　　一、关键路径的定义

　　拓扑排序主要为了解决一个工程能否顺序进行的问题，但有时候还需要解决工程完成需要的最短时间问题。

　　1.AOE网：在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示时间，用有向边表示活动，用边上的权值表示活动的持续时间，这种有向图的边表示活动的网，称为AOE网（Activity On Edge Network）。把AOE网中没有入边的顶点称为始点或源点，没有出边的顶点称为终点或汇点。正常情况下，AOE网只有一个源点一个汇点。

　　数据结构（三十六）关键路径弧<v0，v1>表示从源点开始的第一个活动a0，它的时间单位是3个单位。

　　2.关键路径：把路径上各个活动所持续时间之和称为路径长度，从源点到汇点具有最大长度的路径叫关键路径，在关键路径上的活动叫关键活动。

　　数据结构（三十六）关键路径关键路径为：开始-发动机完成-部件集中到位-组装完成。路径长度为3+0.5+2=5.5小时

　　二、关键路径算法

　　1.为了找到所有活动的最早开始时间和最晚开始时间，并且比较它们，如果相等就意味着此活动是关键活动，活动间的路径为关键路径。因此需要定义几个参数：

事件的最早发生时间etv(earliest time of vertex)：即顶点Vk的最早发生时间。
事件的最晚发生时间ltv(lastest time of vertex)：即顶点Vk的最晚发生时间，也就是每个顶点对应的事件最晚需要开始的时间，超出此时间将会延误整个工期。
活动的最早开工时间ete(earliest time of edge)：即弧Ak的最早发生时间。
活动的最晚开工时间lte(lastest time of edge)：即弧Ak的最晚发生时间，也就是不推迟工期的最晚开工时间。

　　由etv和ltv可以求得ete和lte，然后再根据ete和lte是否相等来判断ak是否是关键活动。

　　2.关键路径算法的思路

　　假设V0为源点，时间V0发生的时刻为0时刻，从V0到Vi的最长路径叫做事件Vi的最早发生时间，这个时间决定以所有以Vi为尾的弧所表示活动的最早开始时间。用etv(i)表示活动ai的最早开始时间。还可以定义一个活动ai的最晚开始时间ltv(i)，这是在不推迟整个工程完成的前提下，活动ai最迟必须开始的时间。两者之差意味着完成活动ai的时间余量。当etv(i)=ltv(i)时的活动成为关键活动。由于关键路径上的活动都是关键活动，所以，提前完成非关键活动并不能加快工程的进度。

　　数据结构（三十六）关键路径

　　例如，上图所示的AOE网的关键路径为：v0->v2->v3->v4->v7->v8->v9

　　因为事件a5的最早开始时间为4，而v0-v2-v3-v7的总时间为4+8+3+7=22，所以时间a5的最晚开始时间为22-4-6-7=5，即若a5延迟1小时，不会影响整个工程的完成。所以说a5不是关键活动。

　　3.关键路径算法C语言代码实现

#include "stdio.h"    
#include "stdlib.h"   
#include "io.h"  
#include "math.h"  
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXEDGE 30
#define MAXVEX 30
#define INFINITY 65535

typedef int Status;    /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */  

int *etv,*ltv; /* 事件最早发生时间和最迟发生时间数组，全局变量 */
int *stack2;   /* 用于存储拓扑序列的栈 */
int top2;       /* 用于stack2的指针 */

/* 邻接矩阵结构 */
typedef struct
{
    int vexs[MAXVEX];
    int arc[MAXVEX][MAXVEX];
    int numVertexes, numEdges;
}MGraph;

/* 邻接表结构****************** */
typedef struct EdgeNode /* 边表结点  */
{
    int adjvex;    /* 邻接点域，存储该顶点对应的下标 */
    int weight;        /* 用于存储权值，对于非网图可以不需要 */
    struct EdgeNode *next; /* 链域，指向下一个邻接点 */
}EdgeNode;

typedef struct VertexNode /* 顶点表结点 */
{
    int in;    /* 顶点入度 */
    int data; /* 顶点域，存储顶点信息 */
    EdgeNode *firstedge;/* 边表头指针 */
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];

typedef struct
{
    AdjList adjList; 
    int numVertexes,numEdges; /* 图中当前顶点数和边数 */
}graphAdjList,*GraphAdjList;
/* **************************** */


void CreateMGraph(MGraph *G)/* 构件图 */
{
    int i, j;
    /* printf("请输入边数和顶点数:"); */
    G->numEdges=13;
    G->numVertexes=10;

    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
    {
        G->vexs[i]=i;
    }

    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
    {
        for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
        {
            if (i==j)
                G->arc[i][j]=0;
            else
                G->arc[i][j]=INFINITY;
        }
    }

    G->arc[0][1]=3;
    G->arc[0][2]=4; 
    G->arc[1][3]=5; 
    G->arc[1][4]=6; 
    G->arc[2][3]=8; 
    G->arc[2][5]=7; 
    G->arc[3][4]=3;
    G->arc[4][6]=9; 
    G->arc[4][7]=4;
    G->arc[5][7]=6; 
    G->arc[6][9]=2;
    G->arc[7][8]=5;
    G->arc[8][9]=3;

}

/* 利用邻接矩阵构建邻接表 */
void CreateALGraph(MGraph G,GraphAdjList *GL)
{
    int i,j;
    EdgeNode *e;

    *GL = (GraphAdjList)malloc(sizeof(graphAdjList));

    (*GL)->numVertexes=G.numVertexes;
    (*GL)->numEdges=G.numEdges;
    for(i= 0;i <G.numVertexes;i++) /* 读入顶点信息，建立顶点表 */
    {
        (*GL)->adjList[i].in=0;
        (*GL)->adjList[i].data=G.vexs[i];
        (*GL)->adjList[i].firstedge=NULL;     /* 将边表置为空表 */
    }
    
    for(i=0;i<G.numVertexes;i++) /* 建立边表 */
    { 
        for(j=0;j<G.numVertexes;j++)
        {
            if (G.arc[i][j]!=0 && G.arc[i][j]<INFINITY)
            {
                e=(EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
                e->adjvex=j;                    /* 邻接序号为j */   
                e->weight=G.arc[i][j];
                e->next=(*GL)->adjList[i].firstedge;    /* 将当前顶点上的指向的结点指针赋值给e */
                (*GL)->adjList[i].firstedge=e;        /* 将当前顶点的指针指向e  */  
                (*GL)->adjList[j].in++;
                
            }
        }
    }
    
}


/* 拓扑排序 */
Status TopologicalSort(GraphAdjList GL)
{    /* 若GL无回路，则输出拓扑排序序列并返回1，若有回路返回0。 */    
    EdgeNode *e;    
    int i,k,gettop;   
    int top=0;  /* 用于栈指针下标  */
    int count=0;/* 用于统计输出顶点的个数 */   
    int *stack;    /* 建栈将入度为0的顶点入栈  */   
    stack=(int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int) );    
    for(i = 0; i<GL->numVertexes; i++)                
        if(0 == GL->adjList[i].in) /* 将入度为0的顶点入栈 */           
            stack[++top]=i;    

    top2=0;    
    etv=(int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int) ); /* 事件最早发生时间数组 */    
    for(i=0; i<GL->numVertexes; i++)        
        etv[i]=0;    /* 初始化 */
    stack2=(int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int) );/* 初始化拓扑序列栈 */

    printf("TopologicalSort:\t");
    while(top!=0)    
    {        
        gettop=stack[top--];        
        printf("%d -> ",GL->adjList[gettop].data);        
        count++;        /* 输出i号顶点，并计数 */ 

        stack2[++top2]=gettop;        /* 将弹出的顶点序号压入拓扑序列的栈 */

        for(e = GL->adjList[gettop].firstedge; e; e = e->next)        
        {            
            k=e->adjvex;            
            if( !(--GL->adjList[k].in) )        /* 将i号顶点的邻接点的入度减1，如果减1后为0，则入栈 */                
                stack[++top]=k; 

            if((etv[gettop] + e->weight)>etv[k])    /* 求各顶点事件的最早发生时间etv值 */                
                etv[k] = etv[gettop] + e->weight;
        }    
    }    
    printf("\n");   
    if(count < GL->numVertexes)        
        return ERROR;    
    else       
        return OK;
}

/* 求关键路径,GL为有向网，输出G的各项关键活动 */
void CriticalPath(GraphAdjList GL) 
{    
    EdgeNode *e;    
    int i,gettop,k,j;    
    int ete,lte;  /* 声明活动最早发生时间和最迟发生时间变量 */        
    TopologicalSort(GL);   /* 求拓扑序列，计算数组etv和stack2的值 */ 
    ltv=(int *)malloc(GL->numVertexes*sizeof(int));/* 事件最早发生时间数组 */   
    for(i=0; i<GL->numVertexes; i++)        
        ltv[i]=etv[GL->numVertexes-1];    /* 初始化 */        
    
    printf("etv:\t");   
    for(i=0; i<GL->numVertexes; i++)        
        printf("%d -> ",etv[i]);    
    printf("\n"); 

    while(top2!=0)    /* 出栈是求ltv */    
    {        
        gettop=stack2[top2--];        
        for(e = GL->adjList[gettop].firstedge; e; e = e->next)        /* 求各顶点事件的最迟发生时间ltv值 */        
        {            
            k=e->adjvex;            
            if(ltv[k] - e->weight < ltv[gettop])               
                ltv[gettop] = ltv[k] - e->weight;        
        }   
    }    
    
    printf("ltv:\t");   
    for(i=0; i<GL->numVertexes; i++)        
        printf("%d -> ",ltv[i]);    
    printf("\n"); 

    for(j=0; j<GL->numVertexes; j++)        /* 求ete,lte和关键活动 */        
    {            
        for(e = GL->adjList[j].firstedge; e; e = e->next)            
        {                
            k=e->adjvex;                
            ete = etv[j];        /* 活动最早发生时间 */                
            lte = ltv[k] - e->weight; /* 活动最迟发生时间 */               
            if(ete == lte)    /* 两者相等即在关键路径上 */                    
                printf("<v%d - v%d> length: %d \n",GL->adjList[j].data,GL->adjList[k].data,e->weight);
        }        
    }
}


int main(void)
{    
    MGraph G;    
    GraphAdjList GL;    
    CreateMGraph(&G);
    CreateALGraph(G,&GL);
    CriticalPath(GL);
    return 0;
}

关键路径算法