数据结构（三十四）最短路径（Dijkstra、Floyd）

　　一、最短路径的定义

　　在网图和非网图中，最短路径的含义是不同的。由于非网图没有边上的权值，所谓的最短路径，其实就是指两顶点之间经过的边数最少的路径；而对于网图来说，最短路径是指两顶点之间经过的边上权值之和最少的路径，并且称路径上的第一个顶点是源点，第二个顶点是终点。显然，非网图可以理解为所有的边的权值都为1的网图。

　　

　　二、Dijkstra算法

　　1.Dijkstra算法描述

　　有向网中从源点V0到其他终点的最短路径的过程是：初始情况下，若从源点到该顶点有弧，则存在一条路径，路径长度即为该弧上的权值。每求得一条到达某个终点w的最短路径，就需要检查是否存在经过这个顶点w的其他路径（即是否存在从顶点w出发到尚未求得最短路径顶点的弧），若存在，判断其长度是否比当前求得的路径长度短，若是，则修改当前路径。同时，保存当前已得到的从源点到各个终点的最短路径。

　　2.Dijkstra算法的C语言代码实现

/*  Dijkstra算法，求有向网G的v0顶点到其余顶点v的最短路径P[v]及带权长度D[v] */    
/*  P[v]的值为前驱顶点下标,D[v]表示v0到v的最短路径长度和 */  
void ShortestPath_Dijkstra(MGraph G, int v0, Patharc *P, ShortPathTable *D)
{    
    int v,w,k,min;    
    int final[MAXVEX];/* final[w]=1表示求得顶点v0至vw的最短路径 */
    for(v=0; v<G.numVertexes; v++)    /* 初始化数据 */
    {        
        final[v] = 0;            /* 全部顶点初始化为未知最短路径状态 */
        (*D)[v] = G.arc[v0][v];/* 将与v0点有连线的顶点加上权值 */
        (*P)[v] = -1;                /* 初始化路径数组P为-1  */       
    }

    (*D)[v0] = 0;  /* v0至v0路径为0 */  
    final[v0] = 1;    /* v0至v0不需要求路径 */        
    /* 开始主循环，每次求得v0到某个v顶点的最短路径 */   
    for(v=1; v<G.numVertexes; v++)   
    {
        min=INFINITY;    /* 当前所知离v0顶点的最近距离 */        
        for(w=0; w<G.numVertexes; w++) /* 寻找离v0最近的顶点 */    
        {            
            if(!final[w] && (*D)[w]<min)             
            {                   
                k=w;                    
                min = (*D)[w];    /* w顶点离v0顶点更近 */            
            }        
        }        
        final[k] = 1;    /* 将目前找到的最近的顶点置为1 */
        for(w=0; w<G.numVertexes; w++) /* 修正当前最短路径及距离 */
        {
            /* 如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话 */
            if(!final[w] && (min+G.arc[k][w]<(*D)[w]))   
            { /*  说明找到了更短的路径，修改D[w]和P[w] */
                (*D)[w] = min + G.arc[k][w];  /* 修改当前路径长度 */               
                (*P)[w]=k;        
            }       
        }   
    }
}

Dijkstra算法