一 内积与正交多项式
定义1 设
称为函数
内积具有以下性质：
① 对称性
② 齐次性
③ 可加性
④ 非负性
定义2 如果内积
例如，三角函数系
如果［a，b］上的连续函数系
则称
利用Gram-Schmidt 方法可以构造出［a，b］上的带权
这样构造出的正交多项式系
①
② 任意n次多项式均可表示为前n+1个
③ 对于任意i≠j，
④
首项系数为1的正交多项式系
其中
二 常见的正交多项式系
1. 勒让德多项式
在区间［-1，1］上权函数为
称为勒让德(Legendre)正交多项式，显然
表示首项系数为1的勒让德多项式。
勒让德多项式 具有以下性质：
① 正交性
② 递推关系
由
③ 奇偶性
即：当n为奇数时，
④
2.切比雪夫多项式在区间［-1，1］上权函数为
称为切比雪夫(Chebyshev)多项式。
切比雪夫多项式具有以下性质：
① ① 正交性
② 递推关系
由
显然，
③ 奇偶性 当n为奇数时，
④
三 最佳平方逼近多项式
定义3 设f(x)∈C［a，b］，若有一次数不超过n(n≤m)的多项式
称满足式（13）的
的最小值。由多元函数求极值的必要条件，得
即
式（14）是关于
式（14）或式（15）称为正规方程组或法方程组。
可以 证明，方程组（15）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（14）中解出
若［a，b］=［0， 1］，
方程组（15）的系数矩阵为
称为希尔伯特（Hierbert）矩阵。以后，不特别声明，均取
例1 求
解
得正规方程组
解得
用
一般地，设
同式（14）的推导完全类似，可得
其中
若取
例4 求
解 在式（16）中，取勒让德多项式系中
得
所以
对于有限区间［a，b］，做变量替换