【图像处理】加权最小二乘滤波器

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1. 引言
2. 算法
3. 关于拉普拉斯矩阵
4. 参考资料
5. 转载请保留以下信息

引言

陆陆续续在计算摄影学接触了不少保边滤波器，其重要性自不必说，可以用在图像的增强，图像抽象画，高动态范围图像压缩，图像色调映射等。 
 
今天介绍的WLS(最小二乘滤波器）即使其中一种，论文全称《Edge-Preserving Decompositions for Multi-Scale Tone and Detail Manipulation》，作者Z. Farbman等，发表在ACM SIGGRAPH 2007。 
这篇文章是基于最优化理论，代码是公开，点此下载。当然有更好的滤波器不断出现。但是这篇文章核心代码只有十几行左右，数学功底深厚，方法比较去值得研究和学习之用。这篇文章只是我看此论文一个笔录，不正确之处欢迎指正。

算法

设计一个保边滤波器可以看做是两个矛盾的目标的结合体。对于一副输入图像

这里，下标

这里，

这里

forward difference operators），backward difference opeattors）。那就是我们的five-point spatially inhomogeneous Laplacian 
matrix）。简单解释一下异性，异性因为《Efficient Preconditioning of Laplacian Matrices for Computer Graphics》一文，里面介绍了比较多的拉普拉斯矩阵的数学基础和应用。 
这个算法的核心还是生成拉普拉斯这个矩阵。 
先准备一下数据，一会儿再来填充一下这个矩阵。 
第一步根据图像的梯度值计算相邻像素之间的平滑权重：

这一步基本上就是按照公式（4）（5）编写的，只是lambda前面多了一个负号，

一会儿将被填充到非主对角线位置，这些元素都是为负的。 接下来就是构造拉普拉斯矩阵了，这里的拉普拉斯是一个对称，只有少数几个对角线有元素，其余为零的稀疏矩阵。

这里

元素，这样拉普拉斯矩阵处理的就是二维图像了。 完整的代码如下：

算法介绍完毕，关于其应用可以参考论文的主页，见末尾。

关于拉普拉斯矩阵

拉普拉斯矩阵在计算机图形和计算摄影学经常会遇到的，比如说灰度图像着色问题，泊松图像编辑，HDR，还有保边滤波器的设计，当然在计算机图形学中的也有诸多应用，所以掌握其解法还是非常有必要的。 

它经常会出现在如下的最优化问题当中 





第一项是数据项，度量是常数时候，这个问题就是空间同性拉普拉斯，否则就是空间异性拉普拉斯问题了。




参考资料


FARBMAN, Z., FATTAL, R., LISCHINSKI, D., AND SZELISKI, R. 2008. Edge-preserving decompositions for multi-scale tone and detail
 manipulation. ACM Transactions on Graphics (Proc. SIGGRAPH) 27, 3 (August). 
Krishnan D, Fattal R, Szeliski R. 2013. Efficient preconditioning of laplacian matrices for computer graphics[J]. ACM
 Transactions on Graphics (Proc. SIGGRAPH), 32,4