Treap树
核心是 利用随机数的二叉排序树的各种操作复杂度平均为O(lgn)
Treap模板：
#include <cstdio> #include <cstring> #include <ctime> #include <iostream> #include <algorithm> #include <cstdlib> #include <cmath> #include <utility> #include <vector> #include <queue> #include <map> #include <set> #define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y)) #define min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x)) #define INF 0x3f3f3f3f #define MAXN 100005 using namespace std; int cnt=1,rt=0; //节点编号从1开始 struct Tree { int key, size, pri, son[2]; //保证父亲的pri大于儿子的pri void set(int x, int y, int z) { key=x; pri=y; size=z; son[0]=son[1]=0; } }T[MAXN]; void rotate(int p, int &x) { int y=T[x].son[!p]; T[x].size=T[x].size-T[y].size+T[T[y].son[p]].size; T[x].son[!p]=T[y].son[p]; T[y].size=T[y].size-T[T[y].son[p]].size+T[x].size; T[y].son[p]=x; x=y; } void ins(int key, int &x) { if(x == 0) T[x = cnt++].set(key, rand(), 1); else { T[x].size++; int p=key < T[x].key; ins(key, T[x].son[!p]); if(T[x].pri < T[T[x].son[!p]].pri) rotate(p, x); } } void del(int key, int &x) //删除值为key的节点 { if(T[x].key == key) { if(T[x].son[0] && T[x].son[1]) { int p=T[T[x].son[0]].pri > T[T[x].son[1]].pri; rotate(p, x); del(key, T[x].son[p]); } else { if(!T[x].son[0]) x=T[x].son[1]; else x=T[x].son[0]; } } else { T[x].size--; int p=T[x].key > key; del(key, T[x].son[!p]); } } int find(int p, int &x) //找出第p小的节点的编号 { if(p == T[T[x].son[0]].size+1) return x; if(p > T[T[x].son[0]].size+1) find(p-T[T[x].son[0]].size-1, T[x].son[1]); else find(p, T[x].son[0]); } int find_NoLarger(int key, int &x) //找出值小于等于key的节点个数 { if(x == 0) return 0; if(T[x].key <= key) return T[T[x].son[0]].size+1+find_NoLarger(key, T[x].son[1]); else return find_NoLarger(key, T[x].son[0]); }
相关题解：
Splay Tree（伸展树）
核心就是 过程Splay(x, y)，即将x节点转移到y节点的子节点上面（其中y是x的祖先）。
利用其中双旋的优势能够保证查询复杂度均摊为O(lgn)
一开始理解有些困难，其实实际上不做深入的理解就是，双旋的过程就是一个建立相对平衡的二叉树的一个过程。
》对于二叉树，最极端的情况就是线性插入，使得整棵二叉树退化为一条链。比如你查询链的最后一个节点，之后再次查询第一个节点。
1）若只是单旋通过Splay(x, 0)将最后一个节点移动到根节点，需要O(n)复杂度，而查询第一个节点时又需要O(n)复杂度，来来往往就退化成一条链了。
2）若是双旋Splay(x, 0)将最后一个节点移动到根节点上时，移动过程中建立起了相对平衡的二叉树，需要O(n)，也就是查询第一个节点时，大概是需要O(lgn)复杂度。这就降低了复杂度。可以证明，总的每个操作的均摊复杂度是O(lgn)。
具体证明可以参见 杨思雨《伸展树的基本操作与应用》
I 用于维护单调队列：（以key为维护对象保证单调）
常用版：（支持相同值）
Struct Tree{
int key, size, fa, son[2];
}
void PushUp(int x);
void Rotate(int x, int p); //0左旋 1右旋
void Splay(int x, int To) //将x节点插入到To的子节点中
int find(int key) //返回值为key的节点 若无返回0 若有将其转移到根处
int prev() //返回比根值小的最大值 若无返回0 若有将其转移到根处
int succ() //返回比根值大的最小值 若无返回0 若有将其转移到根处
void Insert(int key) //插入key 并且将该节点转移到根处
void Delete(int key) //删除值为key的节点 若有重点只删其中一个 x的前驱移动到根处
int GetPth(int p) //获得第p小的节点 并将其转移到根处
int GetRank(int key) //获得值<=key的节点个数 并将其转移到根处 若<key只需将<=换为<
int cnt=1, rt=0; struct Tree { int key, size, fa, son[2]; void set(int _key, int _size, int _fa) { key=_key; size=_size; fa=_fa; son[0]=son[1]=0; } }T[MAXN]; inline void PushUp(int x) { T[x].size=T[T[x].son[0]].size+T[T[x].son[1]].size+1; } inline void Rotate(int x, int p) //0左旋 1右旋 { int y=T[x].fa; T[y].son[!p]=T[x].son[p]; T[T[x].son[p]].fa=y; T[x].fa=T[y].fa; if(T[x].fa) T[T[x].fa].son[T[T[x].fa].son[1] == y]=x; T[x].son[p]=y; T[y].fa=x; PushUp(y); PushUp(x); } void Splay(int x, int To) //将x节点插入到To的子节点中 { while(T[x].fa != To) { if(T[T[x].fa].fa == To) Rotate(x, T[T[x].fa].son[0] == x); else { int y=T[x].fa, z=T[y].fa; int p=(T[z].son[0] == y); if(T[y].son[p] == x) Rotate(x, !p), Rotate(x, p); //之字旋 else Rotate(y, p), Rotate(x, p); //一字旋 } } if(To == 0) rt=x; } int find(int key) //返回值为key的节点 若无返回0 若有将其转移到根处 { int x=rt; while(x && T[x].key != key) x=T[x].son[key > T[x].key]; if(x) Splay(x, 0); return x; } int prev() //返回比根值小的最大值 若无返回0 若有将其转移到根处 { int x=T[rt].son[0]; if(!x) return 0; while(T[x].son[1]) x=T[x].son[1]; Splay(x, 0); return x; } int succ() //返回比根值大的最小值 若无返回0 若有将其转移到根处 { int x=T[rt].son[1]; if(!x) return 0; while(T[x].son[0]) x=T[x].son[0]; Splay(x, 0); return x; } void Insert(int key) //插入key 并且将该节点转移到根处 { if(!rt) T[rt = cnt++].set(key, 1, 0); else { int x=rt, y=0; while(x) { y=x; x=T[x].son[key > T[x].key]; } T[x = cnt++].set(key, 1, y); T[y].son[key > T[y].key]=x; Splay(x, 0); } } void Delete(int key) //删除值为key的节点 若有重点只删其中一个 x的前驱移动到根处 { int x=find(key); if(!x) return; int y=T[x].son[0]; while(T[y].son[1]) y=T[y].son[1]; int z=T[x].son[1]; while(T[z].son[0]) z=T[z].son[0]; if(!y && !z) { rt=0; return; } if(!y) { Splay(z, 0); T[z].son[0]=0; PushUp(z); return; } if(!z) { Splay(y, 0); T[y].son[1]=0; PushUp(y); return; } Splay(y, 0); Splay(z, y); T[z].son[0]=0; PushUp(z); PushUp(y); } int GetPth(int p) //获得第p小的节点 并将其转移到根处 { if(!rt) return 0; int x=rt, ret=0; while(x) { if(p == T[T[x].son[0]].size+1) break; if(p>T[T[x].son[0]].size+1) { p-=T[T[x].son[0]].size+1; x=T[x].son[1]; } else x=T[x].son[0]; } Splay(x, 0); return x; } int GetRank(int key) //获得值<=key的节点个数 并将其转移到根处 若<key只需将<=换为< { if(!rt) return 0; int x=rt, ret=0, y; while(x) { y=x; if(T[x].key <= key) { ret+=T[T[x].son[0]].size+1; x=T[x].son[1]; } else x=T[x].son[0]; } Splay(y, 0); return ret; }