LCA问题
一.概述：
在图论与计算科学中，两个节点 v 与 w 在有向无环图( directed acyclic graph , DAG )或树中的最近公共祖先(Lowest common anccestor , LCA ) 是这两个节点 v 与 w 的深度最深的祖先。我们定义，该深度最深的节点为 v 与 w 的最近公共最先，即LCA 。
例如，在下图中
LCA ( A , B ) = F , LCA ( A , G ) = C , LCA ( B , D ) = C , LCA ( C , G ) = C ;
[ATTENTION]:两个节点的LCA在两点间的路径上。
二.求解方法
方法一：
将LCA问题转化为RMQ问题(区间最值问题)。
1).从任意一个节点开始，对图进行深度优先遍历，记录每个节点的欧拉序，深度，第一次被遍历fst[]时间等信息。
2).将每个节点的深度按照欧拉序列加入一个数组中，即每次经过一个节点时，都将其加入数组。
3).如果fst[ v ] < fst[ u ] ,则LCA( v , u ) = RMQ ( fst[ v ] , fst[ u ] )
如果fst[ v ] > fst[ u ] ,则LCA( v , u ) = RMQ ( fst[ u ] , fst[ v ] )
以上就是主要思路，下面举个栗子：
当查询A 与 D 的 LCA 时 ， LCA ( A , D ) = RMQ ( fst[ D ] , fst[ A ] )
即，区间 [ fst[ D ] , fst[ A ] ] 的深度最小值 , 这段区间[ 2 , 7 ] ，(2 ，1 ，2 ，1 ，2 ，3)中最小值是1，1对C应的节点是C，则A，D的LCA是C 。
[ATTENTION]:区间最值的关键字是深度.
那么现在的问题就是解决RMQ问题，通常使用ST算法(RMQ问题之ST算法)或线段树解决,本文使用线段树解决这个问题。
核心代码&注释：
1 inline void Add_Edge ( int x , int y , int _val ){//邻接表建图 2 e[ ++cnt ].to = y ; 3 e[ cnt ].val = _val ; 4 e[ cnt ].next = head[ x ] ; 5 head[ x ] = cnt ; 6 } 7 8 void Build_Tree ( int x , int y , int i ) {//线段树建树 9 tr[ i ].l = x ; tr[ i ].r = y ; 10 if ( x==y ) tr[ i ].mintr = dep[ x ] , tr[ i ].pos = x ;//按照深度建树 11 else { 12 QAQ mid = ( tr[ i ].l + tr[ i ].r ) >>1 ; 13 Build_Tree ( x , mid , i<<1); 14 Build_Tree ( mid+1 , y , i<<1|1); 15 if (tr[i<<1].mintr > tr[i<<1|1].mintr )//tr[].mintr表示这个区间最小值 ，tr[].pos表示最小值所在位置 16 tr[ i ].pos = tr[i<<1|1].pos,tr[ i ].mintr = tr[i<<1|1].mintr; 17 else 18 tr[ i ].pos = tr[ i<<1 ].pos,tr[ i ].mintr = tr[ i<<1 ].mintr; 19 } 20 21 } 22 23 void DFS ( int x , int depth ) { 24 vis[ x ] = true ; 25 ver[ ++dfs_num ] = x ; //欧拉序 26 fst[ x ] = dfs_num ; //第一次出现位置 27 dep[ dfs_num ] = depth ;//该节点深度 28 for ( int i=head[ x ] ; i ; i=e[i].next ) { 29 int temp = e[ i ].to ; 30 if ( !vis[ temp ] ){ 31 DFS ( temp , depth + 1 ) ; 32 ver[ ++dfs_num ] = x ; 33 dep[ dfs_num ] = depth ; 34 } 35 } 36 } 37 38 void Query_Min ( int q , int w , int i ) { 39 if(q <= tr[i].l && w >= tr[i].r ){ 40 if (tr[ i ].mintr < min_val ){ 41 min_val = tr[i].mintr ;// 记录最小值 42 min_pos = tr[i].pos ;// 记录最小值所在位置 43 } 44 } 45 else { 46 QAQ mid = (tr[i].l + tr[i].r ) >> 1; 47 if(q > mid) { 48 Query_Min ( q , w , i << 1 | 1); 49 } 50 else if(w <= mid) { 51 Query_Min ( q , w , i << 1); 52 } 53 else { 54 Query_Min ( q , w , i << 1) ; 55 Query_Min ( q , w , i << 1 | 1); 56 } 57 } 58 } 59 60 int LCA ( int x , int y ) { 61 int px = fst[ x ] , py = fst[ y ] , tmp ; 62 min_val = INF ;//初始化 63 if ( py < px ) swap ( px , py ) ; 64 Query_Min ( px , py , 1 ) ; 65 return ver[ min_pos ] ;//最小值在欧拉序中对应节点即为LCA 66 } 67 int main ( ) { 68 int N ,M ; 69 scanf ("%d",&N); 70 for ( int i=1 ; i<=N-1 ; ++i ) { 71 int _x , _y , __ ; 72 scanf("%d %d %d" , &_x , &_y ,&__ ) ; 73 Add_Edge ( _x , _y , __ ) ; 74 Add_Edge ( _y , _x , __ ) ; 75 } 76 DFS ( 1 , 1 ) ; 77 Build_Tree ( 1 , dfs_num , 1 ) ; 78 DEBUG_( dfs_num ) ; 79 scanf ("%d",&M); 80 for ( int i=1 ; i<=M ; ++i ) { 81 int u , v ; 82 scanf ( "%d%d" , &u , &v ) ; 83 printf ("%d",LCA ( u , v ) ) ; 84 putchar('\n'); 85 } 86 return 0 ; 87 }