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具体数学-第5课 - WeiYang Blog今天继续讲求和的方法。
针对以下求和式，我们用8种方法来求解：
大家应该都已经背上了它的答案：
方法0
查表。
这就不用说了，很多文献都有现成的解，拿来直接用就行了。
再给大家推荐一个整数序列查询网站OEIS：The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®)
方法1
猜答案，然后用数学归纳法证明。
这个也不多说了，前提是你得猜得出来，这题的公式还是很难猜的。
方法2
扰动法。
令
所以
解出
最终得到
可以看出，我们本来是要对 求和的，但是只要对
用扰动法求和即可，因为求和过程中
项会被抵消掉。
方法3
成套方法。
定义如下递归式：
由第2课可知，设解的形式为：
分别令 可以解出
再另 ，可以得到
即
这时如果令
那么
方法4
积分法
求和式可以近似成积分
但是还少算了一部分误差，设为 ，则有
解得
所以
其实这种方法就是把最高次直接给算出来了，低次项可以直接求和的。
方法5
扩展成二重指标求和
所以
方法6
用有限微分求和
微分的形式大家都知道，如下：
那如果我们定义
则有
似乎并不能和导数形式统一起来，用起来也不方便，那么我们定义一个新的函数，叫做下降阶乘幂：
同理还可以定义上升阶乘幂。
这个函数有一个很好的性质，那就是
令
那么和积分类似，有
所以
因为有
所以
同样可以得到
下降阶乘幂还有很多好用的性质，下节课继续。
方法7
生成函数。
以后章节会讲。