LeetCode（5）：最长回文子串

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题目描述：

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 长度最长为1000。

示例:

输入: "babad"

输出: "bab"

注意: "aba"也是有效答案

示例:

输入: "cbbd"

输出: "bb"

回文串概念：

“回文串”是一个正读和反读都一样的字符串，比如“level”或者“noon”等等就是回文串。

回文算法描述：

1、初始化标志flag=true；

2、输入字符串str，并获取其长度len；

3、定义并初始化游标i=0，j=len-1，分别指向字符串开头和末尾；

4、比较字符str[i]和str[j],若i==j，转至7，否则往下执行5；

5、若str[i]和str[j]相等，则游标i加1，游标j减1后转至4，否则往下执行6；

6、令标志位flag=flase，结束比较，str不是回文串，算法结束。

7、若str[i]和str[j]相等，结束比较，flag=true,str为回文串，算法结束

 1 #include <iostream>
 2 #include <string>
 3 using namespace std;
 4  
 5 int main()
 6 {
 7     string str;
 8     int i,j,l;
 9     int flag = 1;
10  
11     while (cin >> str)
12     {
13         l = str.length();
14         for (i = 0,j = l-1; i <= j; i++,j--)
15         {
16             if (str[i] != str[j])
17             {
18                 flag = 0;
19             }
20         }
21         if (flag) cout << "YES" << endl;
22         else cout << "NO" << endl;
23         flag = true;
24     }
25  
26     return 0;
27 }

解题思路：

LeetCode中关于回文串的题共有五道，除了这道，其他的四道为

C++参考答案一：

 1 // Time complexity O(n*n)
 2 class Solution {
 3 public:
 4     string longestPalindrome(string s) {
 5         int startIdx = 0, left = 0, right = 0, len = 0;
 6         for (int i = 0; i < s.size() - 1; ++i) {
 7             if (s[i] == s[i + 1]) {
 8                 left = i;
 9                 right = i + 1;
10                 searchPalindrome(s, left, right, startIdx, len);
11             }
12             left = right = i;
13             searchPalindrome(s, left, right, startIdx, len);
14         }
15         if (len == 0) len = s.size();
16         return s.substr(startIdx, len);
17     }
18     void searchPalindrome(string s, int left, int right, int &startIdx, int &len) {
19         int step = 1;
20         while ((left - step) >= 0 && (right + step) < s.size()) {
21             if (s[left - step] != s[right + step]) break;
22             ++step;
23         }
24         int wide = right - left + 2 * step - 1;
25         if (len < wide) {
26             len = wide;
27             startIdx = left - step + 1;
28         }
29     }
30 };

此题还可以用动态规划Dynamic Programming来解，与 Palindrome Partitioning II 拆分回文串之二的解法很类似，我们维护一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示字符串区间[i, j]是否为回文串，当i = j时，只有一个字符，肯定是回文串，如果i = j + 1，说明是相邻字符，此时需要判断s[i]是否等于s[j]，如果i和j不相邻，即i - j >= 2时，除了判断s[i]和s[j]相等之外，dp[j + 1][i - 1]若为真，就是回文串，通过以上分析，可以写出递推式如下：

dp[i, j] = 1 if i == j

= s[i] == s[j] if j = i + 1

= s[i] == s[j] && dp[i + 1][j - 1] if j > i + 1

这里有个有趣的现象，就是如果我把下面的代码中的二维数组由int改为vector<vector<int> >后，就会超时，这说明int型的二维数组访问执行速度完爆std的vector，所以，以后尽还是可能用最原始的数据类型吧。

C++参考答案二：

 1 // DP
 2 class Solution {
 3 public:
 4     string longestPalindrome(string s) {
 5         int dp[s.size()][s.size()] = {0}, left = 0, right = 0, len = 0;
 6         for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
 7             for (int j = 0; j < i; ++j) {
 8                 dp[j][i] = (s[i] == s[j] && (i - j < 2 || dp[j + 1][i - 1]));
 9                 if (dp[j][i] && len < i - j + 1) {
10                     len = i - j + 1;
11                     left = j;
12                     right = i;
13                 }
14             }
15             dp[i][i] = 1;
16         }
17         return s.substr(left, right - left + 1);
18     }
19 };

最后要提的就是大名鼎鼎的马拉车算法Manacher's Algorithm，这个算法的神奇之处在于将时间复杂度提升到了O(n)这种逆天的地步，而算法本身也设计的很巧妙，很值得我们掌握，参见博客：http://www.cnblogs.com/grandyang/p/4475985.html，代码实现如下：

C++参考答案三：

 1 class Solution {
 2 public:
 3     string longestPalindrome(string s) {
 4         string t ="$#";
 5         for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {
 6             t += s[i];
 7             t += '#';
 8         }
 9         int p[t.size()] = {0}, id = 0, mx = 0, resId = 0, resMx = 0;
10         for (int i = 0; i < t.size(); ++i) {
11             p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;
12             while (t[i + p[i]] == t[i - p[i]]) ++p[i];
13             if (mx < i + p[i]) {
14                 mx = i + p[i];
15                 id = i;
16             }
17             if (resMx < p[i]) {
18                 resMx = p[i];
19                 resId = i;
20             }
21         }
22         return s.substr((resId - resMx) / 2, resMx - 1);
23     }
24 };

官方解答：

摘要：

这篇文章是为中级读者而写的。它介绍了回文，动态规划以及字符串处理。请确保你理解什么是回文。回文是一个正读和反读都相同的字符串。

解决方案：

方法一：最长公共子串

常见错误

有些人会忍不住提出一个快速的解决方案，不幸的是，这个解决方案有缺陷(但是可以很容易地纠正)：

反转 S，使之变成 S'。找到 S 和 S′之间最长的公共子串，这也必然是最长的回文子串。

LeetCode（5）：最长回文子串

算法：

我们可以看到，当

这给我们提供了一个复杂度为 $O(n^2)O(n2) 动态规划解法，它将占用 O(n^2)O(n2) 的空间（可以改进为使用 O(n)O(n) 的空间）。请访问https://en.wikipedia.org/wiki/Longest_common_substring_problem阅读更多关于最长公共子串的内容。$

方法二：暴力法

LeetCode（5）：最长回文子串

方法三：动态规划

方法四：中心扩展算法

LeetCode（5）：最长回文子串

Java代码：

 1 public String longestPalindrome(String s) {
 2     int start = 0, end = 0;
 3     for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
 4         int len1 = expandAroundCenter(s, i, i);
 5         int len2 = expandAroundCenter(s, i, i + 1);
 6         int len = Math.max(len1, len2);
 7         if (len > end - start) {
 8             start = i - (len - 1) / 2;
 9             end = i + len / 2;
10         }
11     }
12     return s.substring(start, end + 1);
13 }
14 
15 private int expandAroundCenter(String s, int left, int right) {
16     int L = left, R = right;
17     while (L >= 0 && R < s.length() && s.charAt(L) == s.charAt(R)) {
18         L--;
19         R++;
20     }
21     return R - L - 1;
22 }

LeetCode（5）：最长回文子串

方法五：Manacher算法

还有一个复杂度为