几何建模与处理之三参数曲线

在前两节中，学习了一元（单变量）函数\(f:R^1\to R^1\quad y=f(x)\)的数据拟合方法。接下下学习多元函数及多元函数的数据拟合。

多元，即多变量，函数形式如下：

\[f:R^n\to R^1\quad \begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\to y\\y=f(x_1,x_2,\dots,x_n) \]

多元函数的基函数构造需要引入张量积的概念。

定义：多个一元基函数的乘积形式

优点：定义简单

不足：随着维数增加，基函数个数急剧增加，导致变量技据增加（求解系统规模急剧增加，求解代价大）

二元函数的基函数：即用两个一元函数的基函数的相互乘积来定义

例：二次二元多项式函数\(z=f(x,y)\)的基函数\(\lbrace 1,x,y,x^2,xy,y^2\rbrace\)

张量积基函数：

用一个单变量函数\(\sigma(x)\)（激活函数）的不同仿射变换构造“基函数”：基函数数目可控

\[y=f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\omega_0+\sum_{j=1}^mw_i\sigma(a_j^1x_1+\dots+a_j^ix_i+\dots+a_j^nx_n+b_j) \]

向量值，即多个应变量

单变量向量值函数：

\[f:R^1\to R^m\quad x\to\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}\\\begin {cases}y_1=f_1(x)\\\vdots\\y_m=f_m(x)\end{cases} \]

看成多个单变量函数，各个函数独立无关

几何解释：

一个实数\(x\in R^1\)映射到\(m\)维空间\(R^m\)的一个点，轨迹构成\(R^m\)的一条“曲线”，本质维度为1

函数形式：

\[f:R^1 \to R^2\quad \begin {cases}x=x(t)&t\in [0,1]\\y=y(t)&t\in [0,1]\end {cases} \]

几何解释：

一条曲线由一个变量参数

几何建模与处理之三 参数曲线