微分几何笔记(2) —— Chapter 1. 曲线的参数化

第二周讲完了Klingenberg的第一章，做一点微小的笔记。

GTM51对入门者会难一些，因为直接从最一般的$n$n维情况入手，再回头看二三维空间中的曲线，相比之下Calculus and Analysis in Euclidean Space这本UTM的Chapter 8 Parametrized Curves 算是相当新手友好的入门内容，由二三维曲线推广到一般情况。

借用宋老师的话，微分几何的本质是几何，主要通过微积分的手段，用数和函数来刻画几何图形的性质。可能在学习的时候会觉得明明很直观，几何画出来就是这样的，但是要用规范的严格语言说出来很困难。所以说也是一个打基础的课程，先学会怎样严格的表述，在这基础之上才能正确的使用微积分这个工具。
 
 

1.1 参数曲线(Parametrized Curves)

Definition 1.1.1  参数曲线 是指一个光滑映射：$c: I \rightarrow \mathbb{R}^n$c:I→Rn 这里$n \geq 1$n≥1, $I\subseteq \mathbb{R}^n$I⊆Rn 且非空。
更进一步，如果 $\forall t\in I, c'(t)\neq0$∀t∈I,c′(t)​=0，称这样的曲线是正则的(regular).
 

也就是说我们平时说的“曲线”，其实是一个映射，平时说“点在曲线上”，是指这一点，如$c(t)$c(t)在这个映射的像集中。

我们一般都要求曲线是正则的，因为是光滑映射，所以导数不等于零$\Leftrightarrow$⇔不变号，直观理解是这样的曲线是不会回头的，也因此我们可以用隐函数定理，反函数定理等。

如果$I$I是不是开区间，定义的意思是，存在一个包含$I$I的开区间$I^*$I∗，使得$c^*$c∗在$I^*$I∗上是一个光滑映射，并且$c^*|I=c$c∗∣I=c，这样就解决了端点无定义的问题。

这里我们说的参数曲线都是“光滑”的，这个要求也太高了，不过现在考虑的都是很显然，一眼能够看明白的曲线，以后会逐步放宽。
 
 

Definition 1.1.2
i)切空间(Tangent Space):
对$x_0 \in \mathbb{R}^n$x0​∈Rn，切空间是指所有以$x_0$x0​为起点的$n$n维向量所构成的空间，记作$T_{x_0} \mathbb{R}^n$Tx0​​Rn.

ii)沿着曲线$c$c的向量场(Vector field along $c: I \rightarrow \mathbb{R}^n$c:I→Rn):
指一个可微映射$X: I\rightarrow \mathbb{R}^n$X:I→Rn，$\forall t\in I$∀t∈I，$X(t) \in T_{c(t)} \mathbb{R}^n$X(t)∈Tc(t)​Rn.

iii)切向量场(Tangent vector field of $c: I \rightarrow \mathbb{R}^n$c:I→Rn):
指一个沿着$c$c的向量场，其中在$c(t)$c(t)处的向量由切向量$t \mapsto c'(t)$t↦c′(t)给出。
 
 
这里主要是规定向量的起点位于什么地方。
切空间是相当于把$x_0$x0​当成原点所建立的$\mathbb{R}^n$Rn空间，所有$x_0 \in \mathbb{R}^n$x0​∈Rn中向量起于$x_0$x0​.
沿着曲线的向量场是指在曲线的每一点上都"生长"着一些向量，比如下图中所示那样：

接下来一节讲讲弧长参数曲线(parametrization by arc length)，用曲线的弧长做参数，这样做可以简化计算过程。
 
 

1.2 弧长参数曲线(Parametrization by Arc Length)

Definition 1.2.1 如果一个映射$\phi: I\rightarrow I'$ϕ:I→I′是光滑的，而且其逆映射$\phi^{-1}: I'\rightarrow I$ϕ−1:I′→I也是光滑的，称映射$\phi$ϕ是微分同胚(Diffeomorphism)

Definition 1.2.2(Equivalence of Curves) 两条曲线 $c: I \rightarrow \mathbb{R}^n$c:I→Rn 和 $\tilde{c} : \tilde{I} \rightarrow \mathbb{R}^n$c~:I~→Rn 之间如果存在一个微分同胚 $\phi$ϕ，使得 $\tilde{c}=c\circ \phi$c~=c∘ϕ，则称$\phi$ϕ是一个参数变换(parameter transformation).并且如果 $\phi'>0$ϕ′>0，称这样的参数变换是保持定向的(orientation preserving) .

由参数变换所得的曲线构成一个所有 $\mathbb{R}^n$Rn中曲线的等价类（满足自反性(reflexive)，对称性(symmetric)和传递性(transitive)），给这个等价类起个名字叫做 非参数化曲线(unparametrized curve).

其实我们可以把$I$I看成是关于时间的集合，把$c(t)$c(t)看成一个空间中随时间运动的轨迹，这样$c'(t)$c′(t)就是速度，而$|c'(t)|$∣c′(t)∣则是速率。通过不同的参数变换，改变了质点沿曲线运动一定长度所需要的时间（区间$I$I的长度），从而改变了质点运动的速率。我们特别关注的，是其中以单位速度运动的参数曲线，也就是$|c'(s)|=1$∣c′(s)∣=1 的曲线。

Definition 1.2.3 (Arc length of a curve) 光滑曲线$c: I \rightarrow \mathbb{R}^n$c:I→Rn上两点$t_0,t\in I, t_0 <t$t0​,t∈I,t0​<t之间的弧长为：
$L(t_0,t)=\int_{t_0}^{t}|c'(\tau)|d\tau$L(t0​,t)=∫t0​t​∣c′(τ)∣dτ.

事实上，这个积分对于$C^1$C1及更好的曲线都是对的，但是对连续的曲线不对，因为存在在闭区间上长度无穷的连续曲线，比如 $y=sin\frac{1}{x}$y=sinx1​ 在 $x=0$x=0 附近非道路连通；比如把$[0,1]$[0,1]映射到$[0,1]\times[0,1$[0,1]×[0,1的皮亚诺曲线；再比如可以构造出$[0,1]\rightarrow [0,1]\times[0,1]$[0,1]→[0,1]×[0,1]的双射：https://www.zhihu.com/question/301263376

把有限弧长的连续曲线，称为可求长曲线(rectifiable)

Definition 1.2.4 (Parametrization by arc length) 曲线$c(s)$c(s)称为弧长参数化的，如果$L(s_0,s)=s-s_0$L(s0​,s)=s−s0​，等价的说，$|c'(s)|=1, \forall s\in I$∣c′(s)∣=1,∀s∈I.