弹道计算是游戏里常见的问题，其中关于击中移动目标的自动计算提前量的话题，看似简单，其实还是挺复杂的数学。网上这方面的资料还真不多，而且都是写的含含糊糊。抽空总结一下自己的方法。
讨论的前提是，假设目标是在3D空间里以匀速直线方式运动。
1.直线弹道
在不考虑重力和空气阻力影响的情况下，子弹的弹道呈直线运动。这种情况下，其实是个纯平面几何空间的问题，不需要微积分和线代知识。
分析的情况如下图:
在Unity中实现的方法:
Vector3 hitPoint = Vector3.zero;//存放命中点坐标 //假设飞机物体是aircraft,炮塔物体是gun 两者间的方向向量就是两种世界坐标相减 Vector3 D = gun.transform.position - aircraft.transform.position; //用飞机transform的TransformDirection方法把前进方向变换到世界坐标，就是飞机飞行的世界方向向量了 Vector3 aircraftDirection = aircraft.transform.TransformDirection(Vector3.foward); //再用Vector3.Angle方法求出与飞机前进方向之间的夹角 float THETA = Vector3.Angle(D,aircraftDirection); float DD = D.magnitude;//D是飞机炮塔间方向向量，D的magnitued就是两种间距离 float A =1-Mathf.Pow((gunVelocity/aircraftVelocity),2);//假设炮弹的速度是gunVeloctiy飞机的飞行线速度是aircraftVeloctiy float B = -(2*DD*Mathf.Cos(THETA**Mathf.Deg2Rad));//要变换成弧度 float C = DD*DD; float DELTA = B*B-4*A*C; if (DELTA>=0){//如果DELTA小于0，无解 float F1 = (-B+Mathf.Sqrt(B*B-4*A*C))/(2*A); float F2 = (-B-Mathf.Sqrt(B*B-4*A*C))/(2*A); if(F1<F2)//取较小的一个 F1 = F2; //命中点位置等于 飞机初始位置加上计算出F边长度乘以飞机前进的方向向量，这个乘法等于把前进的距离变换成世界坐标的位移 hitPoint = aircraft.transform.position + aircraftDirection * F1; }
假设你的炮弹是个Prefab叫projectilePrefab,带有一个刚体，那么可以这样生成炮弹实例:
if(hitPoint != Vector3.zero){//如果有解 //生成一个炮弹实例，位置在炮塔的位置，方向是从炮塔指向命中点 GameObject obj = (GameObject)Instantiate(projectilePrefab,gun.transform.position,Quaternion.LookRotation(hitPoint)); //假设muzzleVelocity是设定的炮弹速度(0,0,muzzleVelocity)表示往正z方向运动,用TransformDirection把这个速度变换成世界坐标的速度向量 obj.rigidbody.velocity = obj.transform.TransformDirection(new Vector3(0,0,muzzleVelocity)); }
经过以上计算，炮弹可以准确的命中飞行中的目标，只要目标是按照固定速度和方位角飞行的，可以百发百中。当然也会有无解的情况，所以计算的时候判断了Delta,一共也就是几条语句。
2.抛物线弹道
考虑进重力影响，炮弹的弹道就是一个抛物线方程，而目标还是在3D空间的匀速直线运动，一个空间直线方程。
3.各种变换可以快速的通过向量、矩阵运算得到，很方便，不需要总是借助transform
//抛物线方程 X Y代表预测落点，V代表炮弹初速，G是重力加速度 返回值是Vector2,其中x是发射角，y是飞行时间 Vector2 formulaProjectile(float X,float Y,float V,float G){ if(G ==0){//如果无重力 问题就成了简单的三角函数 THETA等于atan(y/x) 飞行时间就等于（Y/sin(THETA)）（斜边长）再除以速度 float THETA = Mathf.Atan(Y/X); float T = (Y/Mathf.Sin(THETA))/V; return(new Vector2(THETA,T)); }else{//用上面的公式进行计算 float DELTA = Mathf.Pow(V,4)-G*(G*X*X-2*Y*V*V); if(DELTA < 0){//DELTA小于0无解 return Vector2.zero; } float THETA1 = Mathf.Atan((-(V*V)+Mathf.Sqrt(DELTA))/(G*X)); float THETA2 = Mathf.Atan((-(V*V)-Mathf.Sqrt(DELTA))/(G*X)); if(THETA1>THETA2)//取较小值 THETA1 = THETA2; float T = X/(V*Mathf.Cos(THETA1));//用抛物线水平运动方程计算飞行时间 比较简单 return new Vector2(THETA1,T); } } //目标运动的直线方程 VT是目标运动速度 PT是目标当前位置 DT是目标运动方向 TT是运动时间 返回值是目标经过时间TT以后的实际位置 Vector3 formulaTarget(float VT,Vector3 PT,Vector3 DT,float TT){ //简单的一句话搞定直线方程计算 目标实际位置=目标当前位置+目标运动方向向量*（目标飞行速度*目标飞行时间) return PT + DT * (VT * TT); } //主迭代函数 参数灰常多 用于算法演示 实际使用是可以简化的 //gunVelocity:炮弹初速度 gunPosition:炮塔世界坐标 aircraftVelocity:飞机线速度 aircraftPosition:飞机当前位置世界坐标 //aircraftDirection:飞机飞行方向向量 hitPoint:预测的命中点 G:重力加速度 accuracy:计算精度 小于这个值认为计算完成 diff:上次迭代的差值 //返回值是炮塔发射时瞄准点的坐标(注意不是实际命中点） Vector3 calculateNoneLinearTrajectory(float gunVelocity,Vector3 gunPosition,float aircraftVelocity, Vector3 aircraftPosition,Vector3 aircraftDirection,Vector3 hitPoint,float G,float accuracy,float diff){ //如果预测命中点是0 无解 返回0 if(hitPoint == Vector3.zero){ return Vector3.zero; } //把炮塔正z指向预测命中点在炮塔高度的一个水平面上的投影点 //这样就构造了一个以炮塔为原点，以重力方向为-y轴 以炮塔正前方为x轴的标准抛物线2D坐标系，这个要自己体会下 Vector3 gunDirection = new Vector3(hitPoint.x,gunPosition.y,hitPoint.z) - gunPosition; //构造一个从世界坐标到炮塔坐标的旋转矩阵 Quaternion gunRotation = Quaternion.FromToRatation(gunDirection,Vector3.forward); //把预测命中点变换到炮塔坐标（减法是计算相对坐标差，再旋转到炮塔当前坐标来） Vector3 localHitPoint = gunRotation * (hitPoint - gunPosition); float V = gunVelocity; float X = localHitPoint.z;//注视方向 前方是z，也就是抛物线坐标里的X float Y = localHitPoint.y; Vector2 TT = formulaProjectile(X,Y,V,G);//用抛物线方程计算射击仰角和飞行时间 if(TT == Vector2.zero){//如果无解 返回 return Vector3.zero; } float VT = aircraftVelocity; Vector3 PT = aircraftPosition; Vector3 DT = aircraftDirection; float T = TT.y;//TT的y是用抛物线方程计算出的弹丸飞行时间 Vector3 newHitPoint = formulaTarget(VT,PT,DT,T);//带入直线方程计算目标实际位置 注意目标的计算是在3D世界坐标进行的 float diff1 = (newHitPoint - hitPoint).magnitude;//判断预测点和实际目标位置的距离 if (diff1 > diff){//如果距离大于上一次计算的距离 那么要么迭代算法有问题 是发散的 要么就无解 返回0 return Vector3.zero; } if(diff1<accuracy){//如果距离小于希望的精度 找到结果 返回瞄准点 炮弹是抛物线 发射时不能瞄准命中点 要计算瞄准点 gunRotation = Quaternion.Inverse(gunRotation);//把刚才构造的旋转矩阵进行逆变换，从炮塔坐标变回世界坐标 Y = Mathf.Tan(TT.x)*X;//TT的x是炮弹射出的仰角tan(仰角)*水平距离=垂直高度了（三角函数），这才是瞄准点的高度 return gunRotation * new Vector3(0,Y,X) + gunPosition;//把瞄准点变换回世界坐标 注意X其实是Z } //即不是无解 也未达到精度要求 递归调用继续迭代 其中预测命中点用目标轨迹方程计算出的新位置取代 参考差值用本次计算的差值取代 return calculateNoneLinearTrajectory(gunVelocity,gunPosition,aircraftVelocity,aircraftPosition,aircraftDirection,newHitPoint,G,accuracy,diff1); }
一个炮弹运动轨迹方程 一个目标运动轨迹方程，加一个迭代函数，就能完成计算抛物线弹道命中直线匀速移动目标的问题。实际使用的时候，可以先用方法1直线弹道算出一个命中点，作为初始预测点带入进行迭代，可以减少迭代次数。过程里使用了大量简化的向量和矩阵运算，对这部分不熟的读起来可能费劲。
在几千米范围以内的飞机，飞行速度在300-700km/h,炮弹出膛速度在500m/s（2战水平，其实高射炮出膛速度不止这么点），命中精度10m以内的前提下，基本上4次迭代以内可以完成。
3.更多复杂因素的计算
在实际情况中，还可能有更多的影响。比如目标不是匀速直线而是加速运动或者曲线运动，比如空气阻力对弹道的影响，弹丸质心不在几何中心时与重力、空间阻力夹角产生的偏转力矩，炮弹在移动的平台上射击移动的目标。另外炮弹出射点是从炮口算起，在旋转炮塔和炮管的情况下，这个出射点其实是个球面轨迹而不是个固定点。火炮发现目标到炮口转动到合适位置的时间里，目标又发生了位移，所以还要计算这个炮塔旋转的提前量。这一系列的复杂问题其实都可以通过联立方程组，然后迭代求解的方法实现，原理完全一样，只是计算复杂度大大增加。
比如在考虑空气阻力等情况下，炮弹的轨迹方程会是这种形式：
其他参数都会用这个因子缩放，所以按照实际情况设置就行。
转载：http://game.ceeger.com/forum/read.php?tid=3919&fid=2