第二章 汇交力系
本章要求
1 掌握汇交力系合成的几何法。能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。
2 能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。对合力投影定理应有清晰的理解。
3 能熟练地运用平衡方程求解汇交力系的平衡问题。
本章重点
力在坐标轴上的投影，合力投影定理，汇交力系的平衡条件及其求解平衡问题的解析法。
- 汇交力系合成与平衡的几何法
汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。
汇交力系的合成
先讨论3个汇交力系的合成。设汇交力系，
，
汇交于O（图1），由静力学公理3：力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明
如图和图所示，其中
讨论：1）图2中的中间过程可不必求，去掉
的图称为力多边形，由力多边形求合力大小和方向的方法称为合力多边形法则。
2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。
3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。
结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即：
用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。
2．汇交力系的平衡
设作用在刚体上的汇交力系为平衡力系，即
先将由力多边形法合成为一个力
，（
）
由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：与
等值，反向，共线，即
， 可得
，或
结论：汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是，力多边形自行封闭。
- 已知：简支梁AB，在中点作用力
，方向如图，求反力
解：1。取研究对象AB梁
2．受力分析如图
3．作自行封闭的力三角形如图
4．求解
例2．已知：支架ABC，A、B处为铰支座，在C处用销钉连接，在销上作用
不计杆自重。求：AC和BC杆所受的力。
解：1。取研究对象销钉C
2．受力分析
3．作自行封闭的力多边形。
4．解三角形
二、汇交力系合成和平衡的解析法
- 力在坐标轴上的投影
二次投影法：计算力在
轴和
轴上的投影时，先将力
投影上
平面上得
（力在平面上的投影规定为矢量），然后再将
投影到
轴和
轴上。此方法特为为的二次投影法。
力矢与各投影有以下关系：
2．合力投影定理此式称为力的解析式
若某汇交力系由几个力组成，则合力
于是
结论：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上的投影的代数和，这称为合力投影定理。
合力的大小： *
合力的方向：
2．平衡
由几何法知。汇交力系平衡
由式（*）知
汇交力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在直角坐标系中每一轴上的投影的代数和都等于零。
上式称为空间汇交力系的平衡方程，三个方程求三个未知量。
若是在面内的平面汇交力系，则有
。于是平衡方程为
可求两个未知量。
例3. 已知：在铰拱不计拱重，结构尺寸为a，在D点作用水平力P，不计自重，求支ﾧ@、C的约束反力。
解：分析易知OAB是二力杆件，
1．以BCD为研究对象；
2．受力分析
3．列方程，求解
求得
也可在系中。
可知：选择合适的坐标系，可以简化计算。
例4．已知：，不计杆重和滑轮尺寸，求：杆AB与BC所受的力。
解：1、研究对象：滑轮
2．受力分析
3．列方程求解
其中
解得 （压）
（拉）
例5．（空间问题）已知：三角支架由三杆AB、AC和AD用球铰A连接而成，分别用球铰支座B、C和D固定在地面上，设铰A上悬挂一重物，，结构尺寸
，
，
，
，若杆的自重均不计，求各杆所受的力。
解：1 以A为研究对象
2．受力分析
3．列方程求解：
：
：
：
解得