第四章 平面力系 1

第四章 平面力系

教学目标

1 掌握平面任意力系向一点简化的方法。会应用解析法求主矢和主矩。熟知平面任意力系简化的结果。

2 深入理解平面任意力系的平衡条件平衡方程的三种形式。

3 理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法。

本章重点

1 平面任意力向作用面内任一点的简化，力系的简化。

2 平面任意力系平衡的解析条件，平衡方程的各种形式。

3 物体及物体系平衡问题的解法。

本章难点

主矢与主矩的概念，平面力系简化为合力时，和力作用线的确定。物体系的平衡。

教学过程

概述

各力的作用线分布在同一平面内的任意力系称为平面任意力系，简称平面力系。平面力系的研究不仅在理论上而且在工程实际应用上都具有重要意义。首先，平面力系是工程中常见的一种力系。另外许多工程结构和构件受力作用时，虽然力的作用线不都在同一平面内，但其作用力系往往具有一对称平面，可将其简化为作用在对称平面内的力系。

1. 平面力系向平面内一点简化

设在刚体上作用一平面力系，各力的作用点如图所示。称简化中心

主矢

主矩

结论：平面力系向作用面内任一点简化，一般可得到一个力和一个力偶，该力通过简化中心，其大小和方向等于力系的主矢，主矢的大小和方向与简化中心无关；该力偶的力偶矩等于力系对简化中心的主矩，主矩的大小和转向与简化中心相关。

2．固定端约束（插入端约束）

概念；物体的一部分固嵌于另一物体中所构成的约束。

实例：电线杆。

当主动力为一平面力系时，物体在固嵌部分所受的力系也是一个平面力系，一般比较复杂，但可向点简化为一力和一力偶，力的大小和方向都是未知的，用表示

1. 改变简化中心时主矩的变化量

向点简化

向点简化

要使，必有或

对于平面力系，主矩的改变量也可以用代数量表示，即

4．平面力系简化的最后结果

1）简化结果

（1）平面力系平衡

（2）平面力系简化为一合力偶，力偶矩的大小和转向由主矩决定，与简化中心无关。

（3）平面力系简化为一合力，此合力过简化中心，大小和方向由主矢确定。

（4）平面力系简化为一合力，合力的作用线在点的哪一侧，应使得对之矩与主矩的转向相同。图中

2）合力矩定理

(4.7)

即平面力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和，称为平面力系的合力矩定理。

3）合力作用线方程

由平面内力对点之矩的解析表达式可知其中是合力作用线上任一点

例4.1 求如图，所示的作用在梁上的分布载荷的合力的大小和作用线位置。

1. 梁上作用一均布载荷，载荷集度为
2. 梁上作用一线形分布载荷，左端的载荷集度为零，右端的载荷集度为

解：1）"均布载荷"的合力可当作均质杆的重力处理，所以合力的大小为，作用在梁的中心，如图

1. 当载荷不均匀分布时，可以通过积分来 计算合力的大小和作用线位置。在梁上离端处取微元，由于载荷线性分布，在处的集度，于是在上作用力的大小为：

合力的大小为

利用合力矩定理计算合力作用线的位置。设合力的作用线离端的距离为，有

例2． 已知：矩形板的四个顶点上分别作用四个力及一个力偶如图所示。其中,,,力偶矩，转向如图所示，图中长度单位为。试分别求:1)力系向点简化结果2)力系向点简化结果3)力系简化的最后结果

解：1 计算力系的主矢：

的解析式

2 向点简化的主矩

即平面力系向点简化得到一力和一力偶，该力过点，其大小和方向与力系的主矢相同。该力偶的力偶矩等于主矩，如图

3、向点简化的主矩

利用两点之矩的关系计算

平面力系向点简化仍得到一力和一力偶，该力过点，其大小和方向仍与力系的主矢相同，该力偶的力偶矩等于主矩，如图

4力系简化的最后结果

因为主矢，所以力系简化的最后结果为一合力，其大小和方向与主矢相同，作用线方程为：合力为轴的交点坐标为（-3，0）

二、平面力系的平衡方程及其应用。

1. 平面力系的平衡方程
2. 基本形式：

平面力系是平面汇交力系和平面力偶系的组合，因而平面力系平衡的必要条件是

，

解析式为：

即平面力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在作用面内两个直角坐标轴上投影的代数和等于零，力系中各力对于平面内任意点之矩的代数和也等于零。

2）二力矩式

且轴不垂直于、两点连线。

证明：必要性，若平面力系平衡，则，易知成立。

充分性：反证法，假定成立，而力系不平衡，则由前两式知力系不能简化为合力偶，所以必为一合力，且此合力必过，两点，由知此合力必垂直于轴，与已知矛盾，所以(4.11)成立，必有力系平衡。

3）三力矩式 (4.12)

且、、不共线

1. 例：平面平行力系的平衡方程。

基本形式：(4.13)

二力矩式：(4.14)

例1：图所示结构中，三处均为铰链约束。横杆在处承受集中载荷，结构各部分尺寸均示于图中，若已知和，试求撑杆的受力以及处的约束力。

解：研究对象： 杆

1. 受力分析：易知是二力杆，所以点受力如图
2. 列平衡方程求解：
3. 研究对象： 杆
4. 受力分析：易知是二力杆，所以点受力如图
5. 列平衡方程求解：
   1. 基本方程：

可得

1. 三力矩式：

可得

例 2：如图所示，水平梁受到一分布载荷和一力偶作用，已知、、不计梁自重， 求支座的反力。

解：1、研究对象：梁

2、受力分析：如图

3、列方程求解：

解得

例 3：平面钢架的受力及各部分如图所示，端为固定端约束。若图中、、、等均为已知，试求端的约束力。

解：1、研究对象，钢架

2、受力分析：如图

3、列方程求解：

解得